[論文レビュー] Willmore flow of surfaces in Riemannian spaces I: Concentration-compactness

Jan Metzger, Glen Wheeler+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン3次元多様体内の閉じた曲面のウィルモアフローに対して、集中・コンパクト性の原則を確立し、初期の曲率集中と面積集中に基づいてフローの最大存在時間の下界を示している。2つの寿命定理を提示する：非正曲率の環境空間では曲率集中のみを用いたもの、一般の空間では曲率と面積集中の両方を制御する必要があるもので、初期データが小さい条件下で長時間の滑らかな存在を保証する。

ABSTRACT

In this paper we study the local regularity of closed surfaces immersed in a Riemannian 3-manifold flowing by Willmore flow. We establish a pair of concentration-compactness alternatives for the flow, giving a lower bound on the maximal time of existence of the flow proportional to the concentration of the curvature and area at initial time. The estimate from the first theorem is purely in terms of the concentration of curvature at initial time but applies only to ambient spaces with non-positive sectional curvature. The second requires additional information on the concentration of area at initial time but applies in more general background spaces. Applications of these results shall appear in forthcoming work.

研究の動機と目的

• リーマン3次元多様体内の閉じた曲面のウィルモアフローに対する寿命定理を、集中・コンパクト性の原則を用いて確立すること。
• 初期の曲率と面積集中に基づいて、ウィルモアフローの最大存在時間の下界を導出すること。
• 曲率制御だけでは不十分な場合に、面積集中を組み込むことで、一般のリーマン環境多様体への存在結果を拡張すること。
• 長時間にわたる滑らかな存在を保証する曲率と面積集中の定量的推定を提供すること。
• ユークリッド空間におけるウィルモアフローの先行結果を、曲率と注入半径が制御された曲がったリーマン環境多様体へ一般化すること。

提案手法

• 平均曲率の$L^2$ノルムの$L^2$勾配フローとしてウィルモアフローを定式化し、埋め込みに関する4階非線形放物型偏微分方程式を導出する。
• 高階の退化的非線形放物型方程式の局所的存在理論を用いて、フローの短時間滑らかな存在を確立する。
• 環境多様体における被覆論法とソボレフ不等式を用いて、リッチ曲率およびその5階までの微分係数の境界に依存する、曲率集中を制御する。
• 環境空間内の半径$\rho$の球上で第二基本形式$|A|^2$の$L^2$ノルムに小さな条件を導入し、集中を制御する。
• 曲率集中が有界のまま保たれる最大時刻$t_0$を用いた連続性の議論を行い、$t_0 < \text{予想される寿命}$の場合に矛盾を導き、寿命推定を証明する。
• 一般の場合には、ソボレフ不等式が正曲率領域で失敗するのを補うために、新しい制御推定（命題17）を用いて曲率集中に加え面積集中を補完する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期の曲率集中が与えられた場合、リーマン3次元多様体内の閉じた曲面のウィルモアフローの最大存在時間は何か？
• RQ2 特に非正の断面曲率を有する環境多様体の曲率が、ウィルモアフローの寿命にどのように影響するか？
• RQ3 正曲率を有する一般のリーマン3次元多様体へ、面積集中を組み込むことで寿命推定を拡張できるか？
• RQ4 どのような条件下で、ウィルモアフローが半径$\rho$の曲率集中に比例して$\rho^4$に比例する時間にわたって滑らかに保たれるか？
• RQ5 注入半径およびリッチ曲率の高階微分が、ウィルモアフローの長時間存在に果たす役割は何か？

主な発見

• 非正の断面曲率を有するリーマン3次元多様体では、ウィルモアフローの最大存在時間$T$は$T /geq \frac{1}{c} \rho^4$を満たし、$c$は環境計量および$k=0$から$5$までの$\nabla^{(k)}\text{Ric}$の境界にのみ依存する。
• $\rho$-球上の曲率集中$L^2$ノルム$|A|^2$は、すべての$t \text{ in } [0, \frac{1}{c}\rho^4]$で$c \times \text{初期集中}$で有界であり、正則性が保証される。
• 正の注入半径を有する一般のリーマン3次元多様体では、初期に曲率と面積集中の両方が小さい限り、寿命は$T \text{ in } [0, \frac{1}{c}\rho^4]$で下界を持つ。
• 初期データの小さな摂動に対しても寿命推定は安定であり、初期の$|A|^2$および$\rho$-球内での面積集中が十分に小さい限り成立する。
• 証明は、曲率集中関数の連続性とコンパクト性定理に依拠する背理法であり、小さな仮定のもとでは有限時刻での爆発が起こりえないことを示している。
• 寿命推定における定数は、初期曲面の幾何構造を越えて、環境計量およびリッチ曲率とその5階までの$L^\frown{\text{infty}}$ノルムにのみ依存する。