[論文レビュー] Wilson Fermions, Random Matrix Theory and the Aoki Phase

Gernot Akemann, P.H. Damgaard+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2010

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、チャーミカルラグランジアンおよびランダム行列理論を用いて、微視的領域におけるウィルソンディラック作用素の $γ_5$-ヘルミート型 $γ_5(D_W + m)$ のスペクトル密度について解析的表現を導出する。$γ_5$-ヘリシティがチャーミカルラグランジアンにおける $a^2$-係数を正に制約し、これはオーキー相転移に不可欠であると示され、格子シミュレーションで観測された $a/\sqrt{V}$ スケーリングが確認される。

ABSTRACT

The QCD partition function for the Wilson Dirac operator, $D_W$, at nonzero lattice spacing $a$ can be expressed in terms of a chiral Lagrangian as a systematic expansion in the quark mass, the momentum and $a^2$. Starting from this chiral Lagrangian we obtain an analytical expression for the spectral density of $γ_5 (D_W+m)$ in the microscopic domain. It is shown that the $γ_5$-Hermiticity of the Dirac operator necessarily leads to a coefficient of the $a^2$ term that is consistent with the existence of an Aoki phase. The transition to the Aoki phase is explained, and the interplay of the index of $D_W$ and nonzero $a$ is discussed. We formulate a random matrix theory for the Wilson Dirac operator with index $ν$ (which, in the continuum limit, becomes equal to the topological charge of gauge field configurations). It is shown by an explicit calculation that this random matrix theory reproduces the $a^2$-dependence of the chiral Lagrangian in the microscopic domain, and that the sign of the $a^2$-term is directly related to the $γ_5$-Hermiticity of $D_W$.

研究の動機と目的

• 微視的領域における $\gamma_5(D_W + m)$ のスペクトル密度の解析的表現を導出すること。
• ウィルソンディラック作用素の $\gamma_5$-ヘリシティとオーキー相の存在との間の関係を確立すること。
• トポロジカルインデックス $\nu$ を持つウィルソンディラック作用素のランダム行列理論（RMT）を構築し、チャーミカルラグランジアンにおける $O(a^2)$ 項を再現すること。
• オーキー相における固有値分布幅の $a/\sqrt{V}$ スケーリングを確認し、格子QCDシミュレーションと一致させること。
• 固定された $\nu$ における最小ディラック固有値の分布から、$W_8$ のような低エネルギー定数を抽出可能にする手法を提供すること。

提案手法

• グローバル対称性およびQCDの制約から導かれる $O(a^2)$ 項を含むウィルソンフェルミオンのチャーミカルラグランジアンを定式化し、$W_8$ に比例する。
• チャーミカルラグランジアンの平均場解析により、$m\Sigma = 8a^2W_8$ で示される相転移点を特定し、オーキー相の始まりを示す。
• $\gamma_5$-ヘリシティを満たす $D_W$ に対するランダム行列アンサンブルを構築し、$A$ および $B$ をエルミート行列、$C$ を複素行列とし、ガウス重み $P \propto e^{-N/4 \operatorname{Tr}[A^2 + B^2] - N/2 \operatorname{Tr}[WW^{ퟚgger}]}$ を用いることで、インデックス $\nu$ が保存されることを保証する。
• 微視的極限における分配関数から、$a$ が小さい場合の鞍点法を用いてスペクトル密度 $\rho_5^\nu(\lambda_5)$ を導出する。
• QCDの不等式を用いて、$\gamma_5$-ヘリシティと整合性を持つためには $W_8 > 0$ が必須であることを証明し、オーキー相が物理的に許容されることを保証する。
• 解析的結果と格子シミュレーションを比較し、トポロジカルピークの幅が $a/\sqrt{V}$ に比例することを示し、観測された $\sigma \propto a\sqrt{W_8 V}$ と一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィルソンディラック作用素の $\gamma_5$-ヘリシティは、チャーミカルラグランジアンにおける $O(a^2)$ 項の符号にどのような制約を課えるか？
• RQ2 非ゼロ格子間隔 $a$ を持つ微視的領域における $\gamma_5(D_W + m)$ のスペクトル密度 $\rho_5^\nu(\lambda_5)$ の解析的形は何か？
• RQ3 オーキー相において、最小固有値の分布幅は $a$ および $V$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 固定されたトポロジカルインデックス $\nu$ を持つウィルソンディラック作用素の $O(a^2)$-補正されたチャーミカルラグランジアンを再現できるランダム行列理論を構築できるか？
• RQ5 固定された $\nu$ における $D_5$ の固有値分布の幅から、低エネルギー定数 $W_8$ を抽出できるか？

主な発見

• $\gamma_5$-ヘリシティにより $W_8 > 0$ が強制され、これはオーキー相の存在に不可欠な条件である。
• $\gamma_5(D_W + m)$ のスペクトル密度は $\lambda_5 = m$ にピークを示し、その幅は $a/\sqrt{V}$ に比例する。これは格子QCDシミュレーションと一致する。
• $a$ が小さい場合、固定された $\nu$ における最小固有値の分布は、幅 $\sigma = \sqrt{8a^2W_8/V\Sigma^2}$ の近似的なガウス分布に従い、$\sigma / \Delta\lambda \propto a\sqrt{W_8 V}$ を得る。
• ランダム行列理論は微視的極限において $O(a^2)$-補正されたチャーミカルラグランジアンを再現する。ここで $\Sigma = N/V$ および $W_8 = \frac{1}{2}a^2N$ である。
• トポロジカル固有値密度の解析的表現（$\nu=1$ 時）は $\rho_{5,{\rm topo}}^{\nu=1}(\lambda_5) = \frac{1}{4a\sqrt{\pi V W_8}} e^{-V\Sigma^2(\lambda_5 - m)^2/(16a^2W_8)}$ であり、$a/\sqrt{V}$ スケーリングを確認する。
• 本結果により、固定された $\nu$ における最小固有値分布の幅を測定することで、格子データから低エネルギー定数 $W_8$ を直接抽出する手法が提供される。