[論文レビュー] Wilson-Fisher fixed points in presence of Dirac fermions

Igor F. Herbut|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2023

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グラフェンやd波超伝導体のようなディラックフェルミオン系における量子臨界現象を記述するグロス-ネヴェュー・ユカワ（GNY）場理論へのウィルソン＝フィッシャー$\varepsilon$-展開の応用をレビューする。フェルミオン結合が存在するにもかかわらず、臨界固定点が保存されることを示し、$\varepsilon$-展開を用いた臨界指数の体系的計算が可能であることが明らかになった。特に、ヘキサゴナル格子上の半分埋めの Hubbard モデルにおける半金属-ネール秩序モット絶縁体転移について、$\varepsilon$-展開、量子モンテカルロ法、他の手法との間に強い一致が得られている。

ABSTRACT

Wilson-Fisher expansion near upper critical dimension has proven to be an invaluable conceptual and computational tool in our understanding of the universal critical behavior in the $ϕ^4$ field theories that describe low-energy physics of the canonical models such as Ising, XY, and Heisenberg. Here I review its application to a class of the Gross-Neveu-Yukawa (GNY) field theories, which emerge as possible universal description of a number of quantum phase transitions in electronic two-dimensional systems such as graphene and d-wave superconductors. GNY field theories may be viewed as minimal modifications of the $ϕ^4$ field theories in which the order parameter is coupled to relativistic Dirac fermions through Yukawa term, and which still exhibit critical fixed points in the suitably formulated Wilson-Fisher $ε$-expansion. I discuss the unified GNY field theory for a set of different symmetry-breaking patterns, with focus on the semimetal-Néel-ordered-Mott insulator quantum phase transition in the half-filled Hubbard model on the honeycomb lattice, for which a comparison between the state-of-the-art $ε$-expansion, quantum Monte Carlo, large-N, and functional renormalization group calculations can be made.

研究の動機と目的

• 古典的 $\phi^4$ 理論で成功したウィルソン＝フィッシャー $\varepsilon$-展開を、順序パラメータと結合するディラックフェルミオンを有する量子場理論へ拡張すること。
• 標準的な $O(N)$ モデルを超えたグロス-ネヴェュー・ユカワ（GNY）場理論における臨界固定点の存在と安定性を確立すること。
• グラフェンや d 波超伝導体を含む2次元電子系における量子臨界現象を統一的な場の理論的枠組みで記述すること。
• $\varepsilon$-展開の結果を、量子モンテカルロ法、大 $N $ 展開、関数的走査群法といった他の非摂動的手法と比較し、半金属からネール秩序モット絶縁体への転移といった重要な転移を対象とすること。
• 特に、発現的対称性やマルチ臨界的挙動を示す系において、複数の結合定数や非自明なフェルミオン自由度を有する状況下でも、$\varepsilon$-展開の頑健性を調査すること。

提案手法

• スカラー秩序パラメータとヤクバイ相互作用で結合する2成分ディラックフェルミオンを有する GNY 場理論に、ウィルソン＝フィッシャー $\varepsilon$-展開の形式的取り扱いを適用する。
• 結合定数空間における走査群の流れを解析することで臨界固定点を同定し、$\epsilon = 4 - d$ がゼロから増加するに従い、非自明な固定点が出現することを追跡する。
• アイゼン、キラルアイゼン、スピン回転対称性の破れといった、さまざまな対称性の破れのパターンを扱い、ヤクバイ結合に異なるフェルミオン双一次形を組み込む。
• 4ループまで高次摂動計算を実施し、$\epsilon$ のべき級数として臨界指数を計算し、収束性を向上させるために再結合技術を適用する。
• $\varepsilon$-展開の予測を検証するため、量子モンテカルロシミュレーション、大-$N$ 展開、関数的走査群法の結果と比較する。
• 不純物のクエンチド系、三次項、マルチ臨界点を含む系へもこの手法を拡張し、安定性と普遍性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィルソン＝フィッシャー $\varepsilon$-展開は、複数の結合定数が存在するにもかかわらず、相対論的ディラックフェルミオンを有する GNY 場理論へ体系的に適用可能か？
• RQ2 特に電子相転移の文脈において、$\epsilon = 1$（すなわち $d=3$）においても、GNY 理論における臨界固定点が実数的かつ安定的であるか？
• RQ3 ヘキサゴナル格子上の半分埋め Hubbard モデルにおける、$\varepsilon$-展開で得られた臨界指数は、量子モンテカルロ法の結果とどの程度一致するか？
• RQ4 フェルミオン双一次形（例：$\psi^\dagger \sigma_3 \psi$ と $\psi^\dagger (\sigma_i \otimes \sigma_3)\psi$）が、転移の普遍性クラスを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 数値的実験で観測されたように、ディラックフェルミオンが臨界において発現的対称性を誘導する場合、$\varepsilon$-展開はそのような発現的対称性やマルチ臨界的挙動を捉えることができるか？

主な発見

• ウィルソン＝フィッシャー $\varepsilon$-展開は、ディラックフェルミオンを有する GNY 理論においても非自明な臨界固定点を効果的に同定でき、標準的な $O(N)$ $\phi^4$ モデルを超えたその適用範囲を拡張した。
• ヘキサゴナル格子上の半分埋め Hubbard モデルにおける半金属-ネール秩序モット絶縁体転移について、$\varepsilon$-展開で得られた臨界指数は、量子モンテカルロ法の結果と誤差範囲内で一致している。
• キラルアイゼン模型における4ループ $\varepsilon$-展開は、コンフォーラルブートストラップおよびモンテカルロデータと整合する臨界指数を生成し、差は数パーセント未満にとどまる。
• ゲージ場を有するスカラー電磁力学における臨界固定点は、複素場の数が臨界値 $n_c \approx 12$ 未満で不安定であることが、$\varepsilon$-展開と再結合を用いて推定された。
• $\varepsilon$-展開は、臨界においてディラックフェルミオンが発現的対称性を誘導し、微視的対称性よりも大きな有効対称性を生じることを明らかにした。
• 本手法は、量子異常ホール状態、量子スピンホール状態、ネマチック相への転移を記述するさまざまな GNY モデルにわたり、すべてのケースで数値的シミュレーションと整合性を示しており、頑健であることが確認された。