[論文レビュー] Wilson Line Integrals in the Unparticle Action

Alexis Licht|ArXiv.org|May 25, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ゲージ不変なアンパーシャル作用に从って頂点を導出するために一般的に用いられるマンデルスタム微分が、アンパーシャル作用積分に適用された場合に数学的に整合性がないことを示している。代わりに、ウィルソン線の明示的な端点依存性に対する通常の微分に基づく正しい手法を提案し、アンパーシャル作用においてポincareおよびスケーリング不変性を両方保つのは唯一直線的経路であることを証明した。これにより、ゲージ不変なアンパーシャル相互作用の定式化における主要な曖昧さが解消された。

ABSTRACT

We consider the unparticle action that is made gauge invariant by inclusion of an open Wilson line factor. In deriving vertexes from such an action it has been customary to use a form of differentiating the Wilson line originally proposed by Mandelstam. Using a simple example, we show that the Mandelstam derivative is mathematically inconsistent. We show that there are two ways to define differentiation of the Wilson line. The mathematically consistent method is to differentiate the explicit dependence of the line on the endpoint. The other method is a functional derivative and corresponds in a limiting case to the Mandelstam derivative. We also show that the only path that can be used in the Wilson line integral that leaves the unparticle action both Poincare and scale invariant is the straight line.

研究の動機と目的

• アンパーシャル-ゲージ場頂点を導出する際のマンデルスタム微分の使用における数学的不整合を特定・解決すること。
• アンパーシャル場理論の文脈において、オープンウィルソン線の微分を数学的に整合的に扱う方法を確立すること。
• ゲージ化されたアンパーシャル作用において、ポincareおよびスケーリング不変性を両方保つ唯一の経路を特定すること。
• マンデルスタム微分と経路依存ウィルソン線の関数的微分との関係を明確にすること。

提案手法

• 端点xにおけるウィルソン線の依存性を明示的に微分することで、ウィルソン線の正しい通常微分を導出。xとyの間のパラメータ化された経路を用いる。
• 一様な磁場を有する可解なアーベルゲージ模型において、通常微分とマンデルスタム微分を用いた部分積分の結果を比較。
• 経路関数ζ(x,y,λ)に依存するウィルソン線の関数的微分形式を導入し、マンデルスタム微分がその極限的ケースとして得られることを示す。
• 経路関数ζにスケーリングおよびローレンツ不変性の制約を課し、x, y, λに関する経路の依存性を記述する微分方程式を導出。
• スケーリングおよび並進対称性を用いて経路関数に制約を課し、ポincareおよびスケーリング不変性を両方満たすのは唯一直線的経路であるという結論に至る。
• ガウス波動関数を用いた2次元平面における明示的計算により、通常微分、マンデルスタム微分、および直接積分の結果を比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンパーシャル作用を含む積分にマンデルスタム微分を適用した場合、数学的に整合性があるか？
• RQ2 ゲージ不変性および整合性を保つために、アンパーシャル作用におけるウィルソン線を微分する正しい方法は何か？
• RQ3 アンパーシャル作用において、ポincareおよびスケーリング不変性を両方保つのはどの経路か？
• RQ4 マンデルスタム微分は経路関数ζの関数的微分とどのように関係しているか？
• RQ5 ウィルソン線積分を用いずにゲージ不変なアンパーシャル作用を構成することは可能か？

主な発見

• 可解なアーベル模型において、マンデルスタム微分を用いた部分積分と直接積分の結果に不一致が生じることから、アンパーシャル作用積分においてマンデルスタム微分が整合性のない結果をもたらすことが示された。
• ウィルソン線の正しい微分は、端点xに関する通常微分であり、部分積分に用いた場合に一貫性のある結果をもたらす。
• マンデルスタム微分は、経路関数ζの関数的微分の特別なケースに過ぎず、極限的状況でのみ有効であり、アンパーシャル作用の評価には適さない。
• スケーリングおよび並進不変性の制約から導かれる要請を満たすのは、唯一xとyの間の直線的経路である。
• 経路関数は、f(u,v,w,λ)x^μ + g(u,v,w,λ)y^μ = λx^μ + (1−λ)y^μ を満たす必要があり、これは線形かつ直線的パラメータ化を意味する。
• f+g=1 および u, v, w に関する偏微分が消えるという要請から、f と g はλにのみ依存することが導かれ、直線的経路が一意の解であることが確認された。