[論文レビュー] Wilson-Loop Characterization of Inversion-Symmetric Topological Insulators

A. Alexandradinata, Xi Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Topological Materials and Phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元および2次元の反転対称性を持つトポロジカル絶縁体に対して $η^{–}$ 分類を確立し、反転対称性によってのみ保護される相対的巻き数 $W$ を導入する。ウィルソンループとベリー位相を用いて、時間反転対称性を持つ系における $ν_{2}$ 不変量に類似したトポロジカル不変量を同定する。$W$ は非負整数として量子化され、高対称モーメンタムにおける反転固有値によって決定される。

ABSTRACT

The ground state of translationally-invariant insulators comprise bands which can assume topologically distinct structures. There are few known examples where this distinction is enforced by a point-group symmetry alone. In this paper we show that 1D and 2D insulators with the simplest point-group symmetry - inversion - have a $Z^{\geq}$ classification. In 2D, we identify a relative winding number that is solely protected by inversion symmetry. By analysis of Berry phases, we show that this invariant has similarities with the first Chern class (of time-reversal breaking insulators), but is more closely analogous to the $Z_2$ invariant (of time-reversal invariant insulators). Implications of our work are discussed in holonomy, the geometric-phase theory of polarization, the theory of maximally-localized Wannier functions, and in the entanglement spectrum.

研究の動機と目的

• 点群対称性によってのみ保護される、反転対称性を持つ絶縁体におけるトポロジカル不変量の同定。
• 反転対称性のみを有する1次元および2次元トポロジカル絶縁体の分類体系の確立。
• ウィルソンループとベリー位相を用いて、新たなトポロジカル不変量、相対的巻き数 $W$ の定義と特徴付け。
• トポロジカル構造と幾何位相、分極化、およびワニエ関数の局在化との関連の確立。

提案手法

• 研究は、運動量空間における被覆バンドのトポロジカル構造を調べるために、ゲージ不変なホロノミーとしてのウィルソンループを用いる。
• ブリユアンゾーン内の閉路に沿ったウィルソンループの固有スペクトルを分析し、反転対称性によって固定される $-1$ の固有値に注目する。
• 相対的巻き数 $W$ は、パスに沿ったウィルソンループ固有値の位相巻き数のネット変化として定義され、非負整数として量子化される。
• 反転対称性不変モーメンタム（$k=0,\pi$）における対称性制約を用いて、$k=0$ および $k=\pi$ における奇パリティバンドの数から $W$ を計算する。
• $W$ とチーン数 $C_1$ の双対性を確立し、反転対称性を保つ連続的変形に対しても $W$ が安定であることを示す。
• ワニエ中心の軌道への分析を拡張し、対称性とゲージ不変性により、$k_x$ および $k_y$ 方向における $W$ が等方的であることを証明する。

Figure 1: Non-Abelian Berry phases for four distinct insulators. Each figure contains three unit cells in an effective 1D-lattice along $\hat{x}$ ; we track the real-space trajectories of the phases (blue circles) in $\hat{x}$ as momentum $k_{y}$ is varied through two adiabatic cycles. (a) An insula

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反転対称性によってのみ保護される、反転対称性を持つ絶縁体に対して、トポロジカル不変量を定義可能か？
• RQ2 1次元および2次元の反転対称性を持つ絶縁体におけるトポロジカル不変量の性質は何か？また、時間反転破れ系や時間反転対称系における不変量とはどのように異なるか？
• RQ3 相対的巻き数 $W$ は、ウィルソンループ固有値スペクトルおよび高対称点における反転固有値とどのように関係するか？
• RQ4 幾何位相およびワニエ関数の局在化の観点から、トポロジカル分類を表現可能か？
• RQ5 巻き数 $W$ は断続的変化に対して不変であり、反転対称性を保つ摂動に対して安定か？

主な発見

• 本稿は、1次元および2次元の反転対称性を持つトポロジカル絶縁体に対して $\mathbb{Z}^{\geq}$ 分類を確立し、$W$ が $-1$ に固定されたウィルソンループ固有値の数を数える不変量 $N_{(-1)}$ として定義される。
• 相対的巻き数 $W$ は、反転対称性によってのみ保護されるトポロジカル不変量として特定され、非負整数として量子化される。
• 不変量 $W$ は、$k=0$ および $k=\pi$ における奇パリティバンド数の差に依存し、複素共役対が存在しない場合には $W = \left| n_{(-)}(\pi) - n_{(-)}(0) \right|$ となる。
• 相対的巻き数 $W$ は等方的であることが示された：反転対称性と時間反転対称性の両方の制約により、$k_x$ または $k_y$ 方向に沿って計算しても同一の値をとる。
• $k=0$ および $k=\pi$ におけるウィルソンループ固有値スペクトルが、トポロジカル不変量を完全に決定し、被覆バンドの対称性表現と関連づけられる。
• 不変量 $W$ は、反転対称性のみで安定であるため、時間反転対称系における $\mathbb{Z}_2$ 不変量に類似していることが判明した。チーン数とは異なり、$W$ は反転対称性の下で安定である。

Figure 2: The Wannier center flows for a 2D insulator with ${\cal I}$ symmetry. Each figure contains three unit cells in an effective 1D-lattice along $\hat{x}$ ; the positions of the primary sites are indicated by black dots. The ground state contains two occupied bands, hence there are two Wannier