[論文レビュー] Wilson loops in supersymmetric Chern-Simons-matter theories and duality

Anton Kapustin, Brian Willett|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、3次元 ${\mathcal{N}}=2$ スーパーシンメトリックなチャーン・サイモンズ・マター理論におけるギブオン・クタソフ双対性の下でのBPSワイルソンループの写像を、ワイルソンループの量子代数を分析することで提案する。量子関係により、この代数が有限次元的であることが示され、その双対写像が正規化された円形ワイルソンループの期待値を保存することを検証する。さらに、等化量子K理論を通じて、物質およびチャーン・サイモンズ項を含む形でウィッテンのバーリンデ代数と量子コホノロジーの関係を一般化する。

ABSTRACT

We study the algebra of BPS Wilson loops in 3d gauge theories with N=2 supersymmetry and Chern-Simons terms. We argue that new relations appear on the quantum level, and that in many cases this makes the algebra finite-dimensional. We use our results to propose the mapping of Wilson loops under Seiberg-like dualities and verify that the proposed map agrees with the exact results for expectation values of circular Wilson loops. In some cases we also relate the algebra of Wilson loops to the equivariant quantum K-ring of certain quasi projective varieties. This generalizes the connection between the Verlinde algebra and the quantum cohomology of the Grassmannian found by Witten.

研究の動機と目的

• 3次元 ${\mathcal{N}}=2$ スーパーシンメトリックなチャーン・サイモンズ・マター理論におけるワイルソンループ演算子がギブオン・クタソフ双対性の下でどのように変換するかを理解すること。
• これらの理論におけるBPSワイルソンループの代数を特定し、古典的表現論を超える量子関係により、それが有限次元的になることを示すこと。
• ワイルソンループ代数の同型を特定することで、電磁理論間の双対写像を確立すること。
• 提案された双対写像が正規化された円形ワイルソンループの期待値を保存することを検証し、その正しさに対する強い証拠を提供すること。
• 等化量子K理論を用いて、物質およびチャーン・サイモンズ項を含む形で、ウィッテンのバーリンデ代数と量子コホノロジーの関係を一般化すること。

提案手法

• ${\mathcal{N}}=2$ 3次元チャーン・サイモンズ・マター理論におけるBPSワイルソンループ代数を構築し、古典的制約を超える量子関係を同定し、表現を切断すること。
• カプスチン（2009年）で導出されたワイルソンループ期待値の正確な公式を用い、双対性の下での正規化された真空期待値を計算・比較すること。
• 電磁理論のワイルソンループ代数間に自然な同型を特定し、これにより双対写像を定義すること。
• 同型が正規化された円形ワイルソンループの期待値を保存することを検証し、正確な結果と整合することを確認すること。
• ワイルソンループ代数を、あるグレアマニアン上のベクトルバンドルの等化量子K環に関連させ、ウィッテンのバーリンデ–量子コホノロジー対応を一般化すること。
• 円周へのコンパクト化を用い、3次元ワイルソンループ代数と2次元有効理論のねじれ的チアル環を結びつけ、量子K理論の予測を計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 ${\mathcal{N}}=2$ チャーン・サイモンズ・マター理論におけるBPSワイルソンループは、ギブオン・クタソフ双対性の下でどのように変化するか？
• RQ2 古典的表現論に存在しない、ワイルソンループ代数に現れる量子関係は何か？
• RQ3 ワイルソンループ代数の構造から、電磁理論間の双対写像を体系的にどのように構成できるか？
• RQ4 物質およびチャーン・サイモンズ項を含む状況において、ワイルソンループ代数がバーリンデ代数およびその量子コホノロジーとの関係をどの程度一般化するか？
• RQ5 ワイルソンループ代数を用いて、これまで未知であったグレアマニアン上のベクトルバンドルの等化量子コホノロジーを予測できるか？

主な発見

• 3次元 ${\mathcal{N}}=2$ チャーン・サイモンズ・マター理論におけるBPSワイルソンループ代数は、量子関係により有限次元的である。例えば、$k=3$, $N_f=1$ の$U(2)$理論では、$\yng(3) = -\yng(2) + q$（$q = e^{2\pi i \zeta}$）という関係が成り立つ。
• 純粋なチャーン・サイモンズの場合（$N_f=0$）、ワイルソンループ代数は、$2\times 2$のボックスに収まるヤン型図形に表現が制限され、量子関係$\yng(3) = 0$により、レベルランク双対性と整合する。
• 双対写像は、レベルランク双対性を一般化し、ヤン型図形の転置に加え、$q$および$r = e^{2\pi i m}$を含む項を追加することで実現される。$k=N_f=2$の質量歪みが加わった場合に顕著に現れる。
• 提案された双対写像によって関連付けられたワイルソンループの正規化期待値は、既知の正確な結果と完全に一致し、この写像の正しさに対する強い証拠を提供する。
• ワイルソンループ代数は、あるグレアマニアン上のベクトルバンドルの等化量子K環と同型であり、ウィッテンのバーリンデ代数と量子コホノロジーの対応を一般化する。
• 双対性は、同じグレアマニアン上の2つの自然なバンドルの等化量子コホノロジー環の間の同型を示し、これまで未知であったこれらの環に対する新しい予測を提供する。