[論文レビュー] Wilson's grassmannian and a noncommutative Quadric

Vladimir Baranovsky, Victor Ginzburg+1 more|ArXiv.org|Mar 13, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、4つの幾何的・代数的対象：ランク r の μm-等変なアデール的グラスマンニアン、変形スモーズ積代数 Dτ 上のランク r の射影加群、非可換な二次曲面 P¹×τP¹ 上のねじれのない層、および m 頂点を持つ巡回クイバーに対するナカジマのクイバー多様体の間の自然な全単射を確立する。主な貢献は、一般化されたリーマン＝ヒルベルト対応とデ・ラーム関手を介して、ウィルソンのグラスマンニアン構成とクイバー多様体を統一する非可換代数的枠組みを提供することであり、ベラスト＝ウィルソンのランク 1 の結果をより高いランクおよび群の等変設定に拡張する。

ABSTRACT

Let the group G of m-th roots of unity act on the complex line by multiplication, inducing an action on the algebra, Diff, of polynomial differential operators on the line. Following Crawley-Boevey and Holland, we introduce a multiparameter deformation, D_c, of the smash-product (Diff # G). Our main result provides natural bijections between (roughly speaking) the following spaces: (1) G-equivariant version of Wilson's adelic Grassmannian of rank r; (2) Rank r projective D_c-modules (equipped with generic trivialization); (3) Rank r torsion-free sheaves on a `noncommutative quadric'; (4) Disjoint union of Nakajima quiver varieties for the cyclic quiver with m vertices. The bijection between (1) and (2) is provided by a version of Riemann-Hilbert correspondence between D-modules and sheaves. The bijections between (2), (3) and (4) were motivated by our previous work math.AG/0103068. The resulting bijection between (1) and (4) reduces, in the very special case: r=1 and G=1, to the partition of (rank 1) adelic Grassmannian into a union of Calogero-Moser spaces, discovered by Wilson. This gives, in particular, a natural and purely algebraic approach to Wilson's result.

研究の動機と目的

• ウィルソンのアデール的グラスマンニアンとコラゴロ・モーザー空間の間の双対性を、より高いランクおよび μm-等変設定に拡張すること。
• Dτ-加群に対して、代数的で非特徴的（non-holonomic）な一般化されたリーマン＝ヒルベルト対応を提供すること。
• ワイル代数の変形と群作用を介して、ナカジマのクイバー多様体と非可換幾何学を統一すること。
• 従来の手法の制限を克服するため、高ランクの加群の自然な幾何的モデルとして非可換な二次曲面 P¹×τP¹ を導入すること。
• 先行結果に依存せずに、アデール的グラスマンニアンとクイバー多様体の間の双対性を直接的かつ独立に証明すること。

提案手法

• Weyル代数 Diff と μm が直線上で乗法的に作用する smash 積代数 Diff#μm の多パラメータ変形 Dτ を構成する。
• Dτ-加群から非可換二次曲面 P¹×τP¹ 上の層へのデ・ラーム関手を定義し、D-加群と構造的層の古典的対応を一般化する。
• 一般化されたリーマン＝ヒルベルト対応を用いて、μm-等変 Dτ-加群と P¹×τP¹ 上のねじれのない層の間の関係を確立する。
• モノイド技法とクイバー多様体の構成を用いて、Dτ-加群と m 頂点を持つ巡回クイバーに対するナカジマのクイバー多様体との関係を導出する。
• コーゾル性とベイリソンのスペクトル系列を活用し、非可換設定における対角の分解を解消し、必要な同値を構成する。
• 代数 ΔA を非可換な対角埋め込みとして用い、次数付き加群の圏における対角の分解を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィルソンのアデール的グラスマンニアンとコラゴロ・モーザー空間の間の双対性を、より高いランクおよび群の等変設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 ランク r の射影 Dτ-加群をパラメトライズする適切な非可換幾何的対象は何か？
• RQ3 デ・ラーム関手は、等変設定における非特徴的 Dτ-加群へどのように拡張できるか？
• RQ4 ナカジマのクイバー多様体は、自然に非可換な曲面上のねじれのない層のモジュライ空間と同一視できるか？
• RQ5 非可換二次曲面 P¹×τP¹ は、アデール的グラスマンニアン、Dτ-加群、およびクイバー多様体を統一する役割を果たすか？

主な発見

• ランク r の μm-等変アデール的グラスマンニアンと、一般の自明化をもつランク r の射影 Dτ-加群との間で自然な全単射が確立された。
• デ・ラーム関手は、Dτ-加群と非可換二次曲面 P¹×τP¹ 上のねじれのない層の間の同値を与える。
• モノイド技法と次数付き加群論を用いて、Dτ-加群と m 頂点を持つ巡回クイバーに対するナカジマのクイバー多様体との間の双対性が構成された。
• この構成は、ウィルソンのランク 1 の結果をより高いランクに拡張し、完全な μm-等変性を含むため、従来の手法の制限を解消した。
• 非可換二次曲面 P¹×τP¹ が、高ランク加群の正しい幾何的モデルであることが示され、以前の研究で用いられた非可換 P² の代わりに適切であることが確認された。
• Dτ のコーゾル双対代数にベイリソンのスペクトル系列を適用し、対角の分解が得られ、層のコホロロジー情報から層を回復するスペクトル系列の構成が可能になった。