[論文レビュー] Winding vectors of topological defects: Multiband Chern numbers

Axel Fünfhaus, Thilo Kopp+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2022

Topological Materials and Phenomena参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ディラック錐などのトポロジカルな欠陥を有する系において、従来の位相に基づく巻き数が失敗する状況においても、巻きベクトルを用いた一般化された渦場形式を導入し、多バンド系のチャーン数を計算する手法を提案する。回転された巻きベクトルを用いることで、ディラック点で接続されたバンドに明確に定義されたチャーン数を割り当てることができ、半分のフラックス量子を通過させるホフスタッター模型に成功して適用された。

ABSTRACT

Chern numbers can be calculated within a frame of vortex fields related to phase conventions of a wave function. In a band protected by gaps the Chern number is equivalent to the total number of flux carrying vortices. In the presence of topological defects like Dirac cones this method becomes problematic, in particular if they lack a well-defined winding number. We develop a scheme to include topological defects into the vortex field frame. A winding number is determined by the behavior of the phase in reciprocal space when encircling the defect's contact point. To address the possible lack of a winding number we utilize a more general concept of winding vectors. We demonstrate the usefulness of this ansatz on Dirac cones generated from bands of the Hofstadter model.

研究の動機と目的

• ディラック錐を有する系において、標準的な位相に基づく巻き数が失敗することへの対処。
• トポロジカルな欠陥を有する多バンド系におけるチャーン数を計算する一般化された形式の開発。
• パラメトリックスピン空間における巻きベクトルの回転を用いて、ディラック点で接続されたギャップを持つバンドに、渦場アプローチをギャップを持つバンドへと拡張すること。
• 特に、ディラック錐が出現する半分のフラックス量子におけるホフスタッター模型へのこの手法の適用。
• 多バンド系のチャーン数計算において、非アーベルのベリー位相に依存しない計算的に容易な代替手法の提供。

提案手法

• スカラー巻き数の一般化として、ディラック錐の周囲の位相的挙動を記述する巻きベクトルを導入する。
• ストークスの定理を用いて、チャーン数の積分を、ボトムの境界に沿った線積分に書き換える。この際、渦場を用いる。
• ゲージ規約に基づくパッチ結合スキームを用い、遷移関数 eiχ(k) 及びそれに関連する渦場を定義する。
• パラメトリックスピン空間における巻きベクトルの回転を提案し、ディラック錐を標準的な玩具ハミルトニアン H±(k) = ℏvF(±kxσx + kyσy) の形に写像する。
• 半分のフラックス量子を単位格子当たりに持つホフスタッター模型に、この手法を適用し、ディラック錐が出現することを示す。
• ギャップなしのディラック点が存在する中でも、既知のチャーン数と整合することを確認し、妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な巻き数が定義されない多バンド系において、ディラック点で接続されたバンドのチャーン数を一貫して計算する方法は何か？
• RQ2 巻きベクトルは、トポロジカル欠陥に対する渦場形式の堅牢な一般化を提供できるか？
• RQ3 パラメトリックスピン空間における回転が、ディラック点で接続されたバンドに明確に定義されたチャーン数を割り当てる役割を果たすか？
• RQ4 ホフスタッター模型において、ディラック錐が引き起こすトポロジカル障害を、渦場形式はどのように扱うか？
• RQ5 この手法は、非アーベルのベリー位相に依存せずに、ホフスタッター模型における既知のチャーン数を再現できるか？

主な発見

• 巻きベクトル形式は、ホフスタッター模型におけるディラック点で接続されたバンドに、明確に定義されたチャーン数を割り当てることに成功した。
• スカラー巻き数が欠落するディラック錐は、非ゼロの巻きベクトルによって特徴付けられ、トポロジカル分類が可能になった。
• この手法は、半分のフラックス量子におけるホフスタッター模型の既知のチャーン数を再現し、その正確性を裏付けた。
• パラメトリックスピン空間における巻きベクトルの回転により、系は標準的なディラックフェルミオンハミルトニアンの形に写像され、トポロジカルな整合性が確認された。
• 非アーベルのベリー位相の複雑さを避ける一方で、ゲージ不変性およびトポロジカル不変性を保持した。
• トポロジカル欠陥によって誘発される渦場の不連続性が、Z2不変量に関連していることが示され、より深いトポロジカル構造が示唆された。