[論文レビュー] (Wireless) Scheduling, Graph Classes, and c-Colorable Subgraphs.

Matthias Bentert, René van Bevern+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、干渉回避型無線スケジューリングに関連するクラスである帰納的帰納的 $k$-独立グラフ上の最大 $c$-彩色可能部分グラフ問題のパrameterized 複雑性を調査する。2-単体的3-ミノの独立集合問題に対して W[1]-困難性を示すが、エッジごとの和集合としてのクラスタおよび弦的グラフの一般化された $c$-彩色可能部分グラフ問題は、解のサイズをパrameterとして固定パラメータ化可能であることを示す。

ABSTRACT

Inductive inductive $k$-independent graphs are a generalization of chordal graphs and have recently been advocated in the context of interference-avoiding wireless communication scheduling. The NP-hard problem of finding maximum-weight induced $c$-colorable subgraphs, which is a generalization of finding maximum independent sets, naturally occurs when selecting $c$ sets of pairwise non-conflicting jobs (modeled as graph vertices). We investigate the parameterized complexity of this problem on inductive inductive $k$-independent graphs. We show that the Independent Set problem is W[1]-hard even on 2-simplicial 3-minoes---a subclass of inductive 2-independent graphs. On the contrary, we prove that the more general Maximum $c$-Colorable Subgraph problem is fixed-parameter tractable on edge-wise unions of cluster and chordal graphs, which are 2-simplicial. In both cases, the parameter is the solution size. Aside from this, we survey other graph classes between inductive inductive 1-independent and inductive inductive 2-independent graphs with applications in scheduling.

研究の動機と目的

• 帰納的帰納的 $k$-独立グラフにおける最大重み誘導 $c$-彩色可能部分グラフのパrameterized 複雑性を分析すること。
• 無線通信スケジューリングに関連する帰納的帰納的グラフの特定の部分クラスにおいて、$c$-彩色可能部分グラフ問題が依然として tractable であるかどうかを特定すること。
• パrameterized 複雑性に影響を与える構造的性質を同定することで、tractable および intractable ケースの境界を明確にすること。
• 無線スケジューリングへの応用が期待される、帰納的帰納的1-独立および2-独立グラフの間の中間的グラフクラスを特定・調査すること。

提案手法

• 著者たちは、解のサイズをパrameterとして用いるパrameterized 複雑性理論を用い、最大 $c$-彩色可能部分グラフ問題の難易度と tractability を分析する。
• 既知の W[1]-困難問題からの還元を用いて、帰納的2-独立グラフの部分クラスである2-単体的3-ミノにおける独立集合問題の W[1]-困難性を確立する。
• Tractability の観点から、クラスタおよび弦的グラフのエッジごとの和集合上での固定パラメータ化可能を、これらのグラフの構造的性質を活用して証明する。
• $k$-独立性の帰納的定義を用い、単体的頂点および分解技術を通じてグラフクラスを分析する。
• $k$-単体性および $k$-独立性を含むグラフ理論的特徴付けを用いて、グラフ族を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジごとの和集合としてのクラスタおよび弦的グラフ上での最大 $c$-彩色可能部分グラフ問題は、固定パラメータ化可能か？
• RQ2 2-単体的3-ミノ（帰納的2-独立グラフの部分クラス）における独立集合問題のパrameterized 複雑性は何か？
• RQ3 帰納的帰納的1-独立および2-独立グラフの間のどのグラフクラスが、効率的なスケジューリングアルゴリズムを許容するか？
• RQ4 $k$-単体性および $k$-独立性といった構造的性質は、$c$-彩色可能部分グラフ問題の複雑性にどのように影響するか？

主な発見

• 独立集合問題は、帰納的2-独立グラフの部分クラスである2-単体的3-ミノにおいて W[1]-困難である。これは、この設定において本質的な難解性を示している。
• エッジごとの和集合としてのクラスタおよび弦的グラフ上での最大 $c$-彩色可能部分グラフ問題は、固定パラメータ化可能である。これらのグラフは2-単体的である。
• 特殊ケース（独立集合問題）が W[1]-困難であるにもかかわらず、この結果が成立することから、両問題間の複雑性ギャップが明確に示された。
• 本研究では、帰納的帰納的1-独立および2-独立グラフの間の中間的グラフクラスを同定・調査し、無線スケジューリングへの応用が期待される。