[論文レビュー] WKB analysis for nonlinear Schrödinger equations with potential

Rémi Carles|Jan 25, 2006

Hermeneutics and Narrative Identity被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形シュレーディンガー方程式の半古典的状況において、部分的二次以下のポテンシャルおよび一般の初期位相をもつ場合に、WKB漸近解析を正当化する。従来の結果を、原点で立方体的かつ非焦点的な非線形性の超臨界的状態にまで拡張する。非線形性強度パラメータ $\kappa$ に依存する誤差項を伴うWKB型近似への解の収束を確立し、$\kappa > 0$ の場合に $L^2 \cap L^\infty$ で一次近似に対して収束を示し、補正項の階層を用いて明示的な誤差率を導出する。

ABSTRACT

We justify the WKB analysis for the semiclassical nonlinear Schrödinger equation with a subquadratic potential. This concerns subcritical, critical, and supercritical cases as far as the geometrical optics method is concerned. In the supercritical case, this extends a previous result by E. Grenier; we also have to restrict to nonlinearities which are defocusing and cubic at the origin, but besides subquadratic potentials, we consider initial phases which may be unbounded. For this, we construct solutions for some compressible Euler equations with unbounded source term and unbounded initial velocity.

研究の動機と目的

• 部分的二次以下のポテンシャルをもつ非線形シュレーディンガー方程式における超臨界的領域へのWKB解析の拡張。
• 初期位相が有界でない場合の半古典的極限 $\varepsilon \to 0$ における解の漸近展開の正当化。
• 非線形性強度 $\kappa$ に依存する誤差推定を伴うWKB型近似への解の収束の確立。
• 有界でない初期速度および源項をもつ圧縮性Euler方程式の解の構成を通じて、有界でない初期位相の解析を可能にする。

提案手法

• 形式的WKBアンザッツ：$ u^\varepsilon \sim (a_0 + \varepsilon a_1 + \cdots)e^{i\Phi/\varepsilon} $、ここで $ \Phi $ はエイコナル方程式 $ \partial_t\Phi + \frac{1}{2}|\nabla_x\Phi|^2 + V = 0 $ を満たす。
• 位相の分解：$ \phi^\varepsilon = \phi_{\rm eik} + \varepsilon^\kappa \widetilde{\phi}^\varepsilon $、ここで $ \phi_{\rm eik} $ は初期位相 $ \phi_0 $ をもつエイコナル方程式の解。
• 係数 $ a^\varepsilon $ および $ \widetilde{\phi}^\varepsilon $ に対する輸送方程式の導出、非線形源項 $ f(|a^\varepsilon|^2) $ を含む。
• エネルギー推定およびGronwall型の議論を用いて、$ H^s $ ノルムにおける近似解と正確解の差を制御。
• 高次の補正項 $ \widetilde{\phi}^{(1)}, \dots, \widetilde{\phi}^{(N)} $ の構成により、$ L^\infty([0,T];H^s) $ で $ o(\varepsilon^{N\kappa}) $ の誤差を達成。
• 反復的精錬を用いたWKB展開の正当化、誤差項は $ \kappa < 1 $ の場合に $ \varepsilon^{\kappa} $ スケーリング、高次項では $ \varepsilon^{(N+1)\kappa} $ スケーリング。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的二次以下のポテンシャルおよび有界でない初期位相をもつ非線形シュレーディンガー方程式に対して、WKB解析を厳密に正当化できるか？
• RQ2 非線形性が原点で立方体的かつ非焦点的であり、超臨界的状態（$ \kappa > 0 $）にある場合、解の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 WKB近似における誤差推定は、非線形性強度パラメータ $ \kappa $ にどのように依存するか？
• RQ4 有界でないデータをもつ関連する圧縮性Euler方程式の解を構成することで、WKBフレームワークを支えることは可能か？
• RQ5 異なる $ \kappa $ の範囲において、$ L^2 \cap L^\infty $ でのWKB近似の最良収束速度は何か？

主な発見

• $ \kappa > 1 $ の場合、一次近似 $ a_0 e^{i\phi_{\rm eik}/\varepsilon} $ は有効であり、$ \|u^\varepsilon - a_0 e^{i\phi_{\rm eik}/\varepsilon}\|_{L^\infty([0,T];L^2 \cap L^\infty)} = o(1) $ が成り立つ。
• $ 0 < \kappa < 1 $ の場合、近似誤差は $ \|a^\varepsilon - a\|_{H^s} \leq C_s \varepsilon^\kappa $ で抑えられ、ここで $ a $ は輸送方程式 (1.6) の解である。
• $ \kappa = 1 $ の場合、単一の位相シフト因子 $ G $ が現れ、弱い仮定のもとで命題1.2の結果を回復する。
• $ \kappa < 1/2 $ の場合、$ \varepsilon^{2\kappa} $ 階の高次の補正項が必要であり、完全な展開により $ o(\varepsilon^{N\kappa}) $ の誤差が達成される。ここで $ N = [1/\kappa] $ である。
• 解 $ (a^\varepsilon, \phi^\varepsilon) $ は $ C([0,T];H^s)^2 $ で一様有界であり、極限 $ (a, \widetilde{\phi}) $ へ $ H^s $ で強い収束を示す。
• 初期位相 $ \phi_0 $ が二階微分が有界でない場合でも解析が成立し、従来の結果で要求されていた有界な初期位相の仮定を拡張する。