[論文レビュー] Wonderful compactifications of arrangements of subvarieties

Li Li|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2006

Advanced Algebra and Logic被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特異的でない複素代数的多様体 Y 内の部分多様体の配置に対する、見事なコンpactification の一般化を導入する。特定の順序で非特異的中心に沿って逐次 blowing up を行うことで、古典的な Fulton-MacPherson および De Concini-Procesi モデルを拡張する滑らかなコンパクト化 YG を得る。この構成により、特異性を制御した blow-up を用いた部分多様体の配置の解消を体系的に可能にする。

ABSTRACT

Abstract. We define the wonderful compactification of an arrangement of subvarieties. Given a complex nonsingular algebraic variety Y and certain collection G of subvarieties of Y, the wonderful compactification YG can be constructed by a sequence of blow-ups of Y along the subvarieties of the arrangement. This generalizes the Fulton-MacPherson configuration spaces and the wonderful models given by De Concini and Procesi. We give a condition on the order of blow-ups in the construction of YG such that each blow-up is along a nonsingular center. Contents

研究の動機と目的

• 特異的でない複素代数的多様体内の任意の部分多様体の配置へ、見事なコンパクト化理論を超えて一般化すること。
• 部分多様体の配置に沿った blow-up の系列を通じて、滑らかなコンパクト化 YG を体系的に構成すること。
• 各中心が非特異的であることを保証する、特定の blow-up の順序を特定すること。これにより、構成全体を通して滑らかさが保たれる。
• Fulton-MacPherson の配置空間や De Concini-Procesi の見事なモデルといった既存のモデルを、統一的かつ一般化された枠組みで統合すること。

提案手法

• 構成は、配置内の部分多様体に沿って順次 Y を blowing up することで行われる。各ステップで中心の非特異性を保つために、特定の順序に従う。
• 各中心が非特異的かつ以前の中心と横断的であることを保証するため、blow-up の順序に組合せ的条件を課す。
• blow-up の中心は、配置によって定義されるストラトムの閉包として選ばれ、その順序はストラトム上の部分順序によって決定される。
• 得られる空間 YG が非特異的であり、配置の自己同型群の自然な作用を有することが示される。
• この方法は、線形部分空間に限らない任意の余次元の部分多様体を許容することで、古典的な De Concini-Procesi モデルを一般化する。
• この方法は、元の多様体の幾何学的・位相的性質を保ちつつ、配置内の交わりに起因する特異性を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 見事なコンパクト化の構成を、超平面の配置から特異的でない多様体内の任意の部分多様体の配置へ一般化することは可能か？
• RQ2 各中心が構成の全過程で非特異的のまま保たれるような、blow-up の順序は何か？
• RQ3 一般化されたコンパクト化は、Fulton-MacPherson や De Concini-Procesi の構成といった既存のモデルとどのように関係するか？
• RQ4 得られるコンパクト化 YG の幾何学的・位相的性質は何か？
• RQ5 この構成を配置の自己同型に関して普遍的かつ函子的に行えるか？

主な発見

• 本論文は、特異的でない複素代数的多様体内の任意の部分多様体の配置に対して、blow-up の系列を用いた滑らかなコンパクト化 YG の一般構成を確立する。
• 各中心が非特異的であることを保証する特定の blow-up の順序が同定され、これにより全構成が非特異的多様体をもたらす。
• 得られるコンパクト化 YG は、Fulton-MacPherson の配置空間および De Concini-Procesi の見事なモデルの両方を一般化する。
• 構成は配置の自己同型に関して函手的であり、対称性を保つ。
• この方法は、良好に制御されたストラトムと境界除数を有する、部分多様体の配置のための普遍的な特異性解消を提供する。
• この枠組みにより、特にモジュライ空間や配置空間におけるさまざまなコンパクト化問題が一様に取り扱える。