[論文レビュー] Wong--Zakai Approximations of Stochastic Allen-Cahn Equation

Zhihui Liu, Zhonghua Qiao|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、加法的空間時間ブラウン運動に駆動される確率的Allen–Cahn方程式のWong–Zakai–Galerkin近似に対して、条件なしで最適な強い収束速度を確立する。加法的ノイズ構造とドリフトの単調性を活用し、マーティングル型2のバナッハ空間における因数分解法と確率積分法を用いて鋭い誤差推定を導出し、解とその近似の$L^p$ノルムにおける収束速度$ olimits\mathcal{O}\left(\left(\frac{1}{m}\right)^{1/4} \wedge \left(\frac{1}{n}\right)^{1/2}\right)$を達成する。

ABSTRACT

We establish a unconditional and optimal strong convergence rate of Wong--Zakai type approximations in Banach space norm for a parabolic stochastic partial differential equation with monotone drift, including the stochastic Allen--Cahn equation, driven by an additive Brownian sheet. The key ingredient in the analysis is the fully use of additive nature of the noise and monotonicity of the drift to derive a priori estimation for the solution of this equation, in combination with the factorization method and stochastic calculus in martingale type 2 Banach spaces applied to deduce sharp error estimation between the exact and approximate Ornstein--Uhlenbeck processes, in Banach space norm.

研究の動機と目的

• 加法的空間時間ホワイトノイズに駆動される確率的Allen–Cahn方程式のWong–Zakai–Galerkin近似に対して、条件なしで最適な強い収束速度を導出すること。
• 従来の研究で見られる、標本路集合に関する確率的仮定を必要とする条件付き収束速度の制限を克服すること。
• 最小限の初期データ仮定のもとで、解および関連するOrnstein–Uhlenbeck過程の$L^p$ノルムにおける鋭い誤差境界を確立すること。
• バナッハ空間設定下での新規な事前推定を用いて、既存の収束結果をリプシッツでない、多項式成長するドリフトへ一般化すること。

提案手法

• 加法的ノイズ構造を活用し、確率的偏微分方程式（SPDE）を確率的成分と決定的成分に分離可能な等価な確率的PDEに変換する。
• マーティングル型2のバナッハ空間における因数分解法と確率積分法を用い、正確なおよび近似されたOrnstein–Uhlenbeck過程の一様なバインディングを導出する。
• スペクトルGalerkin射影とノイズの時刻ごとの定数近似を組み合わせて、Wong–Zakai–Galerkinスキームを構築する。
• ドリフト$f$の単調性と多項式成長条件を用いて、解および誤差項の事前推定を導出する。
• Grönwallの不等式およびHölder/Youngの不等式を用い、$L^p$ノルムにおけるドリフト由来の非線形項を制御する。
• 非リプシッツ非線形性を扱うために不可欠な、$\rho > 2$における$L^\rho(0,T;L^\rho(\rho;L^\rho(0,1)))$型ノルムにおける収束速度を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的ノイズを有する確率的Allen–Cahn方程式のWong–Zakai近似に対して、条件なしで最適な強い収束速度を確立できるか？
• RQ2 初期データの正則性が最小限の仮定のもとで、時間的（$m$）および空間的（$n$）離散化パラメータに依存する収束速度はどのように変化するか？
• RQ3 リプシッツでないドリフトに対して、バナッハ空間ノルムにおける正確な解とWong–Zakai–Galerkin近似との間の鋭い誤差推定は何か？
• RQ4 因数分解法とマーティングル型2空間における確率積分法は、単調的かつ多項式成長するドリフトを有するSPDEの収束解析をどの程度改善できるか？
• RQ5 確率的集合が収縮するに従って収束速度が変化する条件付き推定を超えて、収束速度を向上させられるか？

主な発見

• 本稿は、解とその近似の$L^p(0,T;L^p(\Omega;L^p(0,1)))$ノルムにおいて、条件なしの強い収束速度$\mathcal{O}\left(\left(\frac{1}{m}\right)^{1/4} \wedge \left(\frac{1}{n}\right)^{1/2}\right)$を確立する。これは任意の$1 \leq p < \frac{p_*}{2} + 1$に対して成立する。
• 収束速度は最適であり、標本路に依存しない。これは、従来の研究が$\mathbb{P}(\Omega_{\tau,h}) \to 1$を要件としていたのとは対照的である。
• 因数分解技術とマーティングル型2バナッハ空間における確率積分法を組み合わせることで、高次モーメントの制御を可能にし、鋭い誤差推定を達成する。
• $p \geq 2$の場合、精密な推定により$\mathbb{E}\left[\|u - u^{m,n}\|_{L^p}^p\right] + \int_0^T \mathbb{E}\left[\|u - u^{m,n}\|_{L^{p+q-2}}^{p+q-2}\right] dt \leq C\left(1 + \mathbb{E}[\|u_0\|_{L^p}^p]\right)\left(\left(\frac{1}{m}\right)^{1/4} \wedge \left(\frac{1}{n}\right)^{1/2}\right)^{\frac{p+q-2}{q-1}}$が得られ、$q > 2$である。
• 初期データの要件は最小限である：収束速度が成立するためには$u_0 \in L^{p_*}(\Omega; L^{p_*}(0,1))$で十分である。
• 本手法は、単調的かつ多項式成長するドリフトを有するSPDEに一般化可能であり、リプシッツ非線形性を超える。従来のリプシッツ条件依存の手法の制限を克服する。