[論文レビュー] Word equations in linear space

Artur Jeż|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2017

semigroups and automata theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、語方程式の充足可能性が非決定的線形空間内で決定可能であることを確立し、文脈適合言語のクラスに位置づける。著者らは、ハフマン符号化と、依存関係に基づく新たな符号化戦略を再圧縮技術に組み合わせることで、空間計算量を O(n log n) から O(n) に削減し、Immerman–Szelepcsényi の定理を用いて、充足可能な方程式と充足不可能な方程式の両方が文脈適合であることを証明する。

ABSTRACT

Satisfiability of word equations is an important problem in the intersection of formal languages and algebra: Given two sequences consisting of letters and variables we are to decide whether there is a substitution for the variables that turns this equation into true equality of strings. The exact computational complexity of this problem remains unknown, with the best lower and upper bounds being, respectively, NP and PSPACE. Recently, the novel technique of recompression was applied to this problem, simplifying the known proofs and lowering the space complexity to (nondeterministic) O(n log n). In this paper we show that satisfiability of word equations is in nondeterministic linear space, thus the language of satisfiable word equations is context-sensitive, and by the famous Immerman-Szelepcsenyi theorem: the language of unsatisfiable word equations is also context-sensitive. We use the known recompression-based algorithm and additionally employ Huffman coding for letters. The proof, however, uses analysis of how the fragments of the equation depend on each other as well as a new strategy for nondeterministic choices of the algorithm, which uses several new ideas to limit the space occupied by the letters.

研究の動機と目的

• 語方程式の充足可能性に関する既知の NP 困難下界と PSPACE 上界の間のギャップを埋める。
• 非決定的空間内での語方程式の解法の空間計算量を O(n log n) から O(n) に低減する。
• 充足可能な語方程式の言語が文脈適合であることを示し、Immerman–Szelepcsényi の定理を活用する。
• 再圧縮と依存関係に配慮した文字の符号化を用いた空間効率の良いアルゴリズムを開発する。

提案手法

• Jeż (2015) の再圧縮に基づくアルゴリズムを拡張し、効率的な文字表現のためのハフマン符号化を導入する。
• それらが依存する方程式の要因に基づく、新しい依存関係に基づく文字の符号化を提案する。
• 局所的な変更と新しい文字の導入を制限しながら、ビット符号化サイズを最小限に抑える洗練された圧縮戦略を採用する。
• 解の構造に従った非決定的選択を用いることで、正しさと空間効率を保証する。
• Lemma 5 で確立されたように、ブロック圧縮とペア圧縮を線形空間内で適用する。
• 段階を通じてアルファベットと記号マッピングのコンパクトな表現を維持し、線形空間を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語方程式の充足可能性は非決定的線形空間で解けるか？
• RQ2 充足可能な語方程式の言語は文脈適合的か？
• RQ3 再圧縮に基づく語方程式解法の空間計算量を O(n) に低減できるか？
• RQ4 方程式断片間の依存関係解析は、空間効率の良い計算においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 ハフマン符号化のようなプレフィックス符号化は、再圧縮にどのように統合され、空間使用量を最小限に抑えられるか？

主な発見

• 語方程式の充足可能性は、非決定的線形空間内、すなわち NSPACE(n) で決定可能である。
• 充足可能な語方程式の言語は文脈適合的であり、Immerman–Szelepcsényi の定理により、充足不可能な方程式の言語に対しても同様に文脈適合的である。
• ハフマン符号化と文字の依存関係に基づく符号化を用いることで、アルゴリズムは O(n) の空間計算量を達成する。
• 導入される新しい文字の数を制限し、方程式内の局所的変更を保証する、非決定的選択のための新規戦略を証明で用いる。
• 空間上限は任意のプレフィックス符号、特にハフマン符号に対しても成り立ち、総空間は入力サイズの定数倍で抑えられる。
• アルゴリズムは O(log N) 段階で終了する。ここで N は解の長さを表し、各段階で解の長さが定数倍に短縮される。