[論文レビュー] Word hyperbolic extensions of surface groups

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|May 12, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 67

ひとこと要約

本稿は、閉じた曲面 $S$ の基本群 $\pi_1(S)$ の有限生成拡張 $\Gamma_S$ が語的双曲的であるための幾何的条件を確立する。この拡張が双曲的であるための必要十分条件は、群 $\Gamma$ が曲線複体 ${\mathcal{C}}(S)$ 上に作用する際に、その作用が準等長埋め込みであるということである。この結果は、写像類群作用における凸コンパクト性と双曲性に関する先行研究を一般化し、商群 $\Gamma = \Gamma_S / \pi_1(S)$ が曲線複体上で示す力学的性質によって双曲的拡張を特徴づけている。

ABSTRACT

Let S be a closed surface of genus at least 2. We show that a finitely generated group G which is an extension of the fundamental group H of S is word hyperbolic if and only the orbit map of the quotient group G/H on the complex of curves is a quasi-isometric embedding.This in turn is equivalent to G/H being convex cocompact in the sense of Farb and Mosher.

研究の動機と目的

• 閉じた曲面 $S$（ genus $g \geq 2$）の基本群 $\pi_1(S)$ の有限生成拡張 $\Gamma_S$ が語的双曲的である条件を特徴づけること。
• $\Gamma_S$ の双曲的性と、商群 $\Gamma = \Gamma_S / \pi_1(S)$ が曲線複体 ${\mathcal{C}}(S)$ 上で示す幾何的作用との関係を明らかにすること。
• 曲線複体への軌道写像を用いた、双曲的性の必要十分条件を確立すること。
• Farb-Mosher および Mosher の凸コンパクト性と双曲的拡張に関する結果を一般化・統一すること。

提案手法

• 曲線複体 ${\mathcal{C}}(S)$ を標準辺長1のGromov双曲的距離空間とみなす。
• 任意の $\alpha \in {\mathcal{C}}(S)$ に対して、軌道写像 $\varphi \mapsto \varphi \cdot \alpha$ を定義し、その準等長埋め込み性を解析する。
• 写像類群 ${\mathcal{M}}_g^0$ における凸コンパクト性の概念を、軌道写像が ${\mathcal{C}}(S)$ に準等長埋め込みであると定義する。
• $\Gamma_S$ が双曲的であるためには、準同型 $\rho: \Gamma \to {\mathcal{M}}_g^0$ の核が有限である必要があることから、${\mathcal{M}}_g^0$ の部分群に還元可能であることを用いる。
• $\Theta{\mathcal{C}}{\mathcal{G}}$ に沿った理想双曲三角形のバンドルを構成し、それが一様に準等長的に埋め込まれており、一様に双曲的であることを示す。
• 補題3.3および系3.6を適用してバンドルの双曲的性を検証し、これにより $\Gamma_S$ の双曲的性を満たすために必要な曲線系の性質が満たされることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成拡張 $\Gamma_S$ が $\pi_1(S)$ に対して語的双曲的であるのはいつか？
• RQ2 商群 $\Gamma = \Gamma_S / \pi_1(S)$ が $\Gamma_S$ の双曲的性を保証する幾何的条件は何か？
• RQ3 $\Gamma$ が曲線複体 ${\mathcal{C}}(S)$ 上で示す作用と、拡張 $\Gamma_S$ の双曲的性との関係は何か？
• RQ4 写像類群 ${\mathcal{M}}_g^0$ の部分群 $\Gamma$ に対して、軌道写像 ${\mathcal{C}}(S)$ への埋め込みによって凸コンパクト性を特徴づけられるか？
• RQ5 ${\mathcal{M}}_g^0$ のすべての凸コンパクト部分群は、ある意味で自由群の有限被覆であると言えるか？また、$\Gamma$ のGromov境界はこの性質にどのように関与するか？

主な発見

• $\Gamma_S$ が $\pi_1(S)$ に対して語的双曲的であるための必要十分条件は、軌道写像 $\varphi \mapsto \varphi \cdot \alpha$ が曲線複体 ${\mathcal{C}}(S)$ に準等長埋め込みであることである。
• 拡張 $\Gamma_S$ が双曲的であるためには、商群 $\Gamma = \Gamma_S / \pi_1(S)$ が拡張写像類群 ${\mathcal{M}}_g^0$ の凸コンパクト部分群として作用している必要がある。
• 準同型 $\rho: \Gamma \to {\mathcal{M}}_g^0$ の核が有限であるため、$\Gamma_S$ が双曲的であることと、$\Gamma$ が ${\mathcal{M}}_g^0$ において凸コンパクトであることとは同値である。
• $\Theta{\mathcal{C}}{\mathcal{G}}$ に沿った理想双曲三角形のバンドルは、ある普遍的 $\delta_0 > 0$ に対して一様に $\delta_0$-双曲的である。
• 境界上での理想三角形を用いて構成された曲線系 $c(x,y)$ は一様に準等長的に埋め込まれており、$\Gamma_S$ が双曲的であるために必要な双曲的性条件を満たしている。
• $\Gamma$ のGromov境界 $\partial\Gamma$ は、測度付きラミネーションの唯一的エルゴード的射影的空間 ${\mathcal{U}}{\mathcal{E}} \subset {\mathcal{P}}{\mathcal{M}}{\mathcal{L}}$ に埋め込まれており、${\mathcal{U}}{\mathcal{E}}$ が完全不連結であれば、$\Gamma$ はある意味で自由群の有限被覆である。