[論文レビュー] Word images in symmetric and unitary groups are dense

Jakob Schneider, Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Finite Group Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、自由群 $ F_k $ 内の非自明な語 $ w $ に対して、十分に大きな $ n $ に対して、語写像 $ w: G_n^k \to G_n $ の像が、正規化されたハミング距離またはランク距離に関する $ G_n $ において $ \varepsilon $-稠密になることを証明している。この結果は、対称群およびユニタリ群に対するShalevとLarsenの予想の度合いに関する類似を確認し、非自明な語写像がこれらの群の度合いの超積において全射であることを示している。

ABSTRACT

Let $w\in{ m F}_k$ be a non-trivial word and denote by $w(G)\subseteq G$ the image of the associated word map $w\colon G^k o G$. Let $\mathcal G=(G_n,d_n)_n$ be either the family $({ m Sym}(n),d_{ m H})_n$ of finite symmetric groups equipped with the normalized Hamming distance or the family $({ m U}(n),d_{ m rk})_n$ of unitary groups of finite rank equipped with the normalized rank metric. For $\varepsilon>0$, we prove that there exists an integer $N(\varepsilon,w)$ such that $w(G_n)$ is $\varepsilon$-dense in $G_n$ with respect to the metric $d_n$ if $n\geq N(\varepsilon,w)$. This confirms metric versions of a conjectures by Shalev and Larsen. Equivalently, we prove that any non-trivial word map is surjective on a metric ultraproduct of groups from $\mathcal G$ with respect to a free ultrafilter.

研究の動機と目的

• 群のサイズが大きくなる際の対称群およびユニタリ群における語写像の度合いの稠密性を確立すること。
• 語の像の全射性に関するShalevおよびLarsenの予想の度合いのバージョンを検証すること。
• $ \mathrm{Sym}(n) $ および $ \mathrm{U}(n) $ における語写像の漸近的挙動を正規化された距離に関して分析すること。
• 非自明な語写像がこれらの群の度合いの超積において全射になることを示すこと。

提案手法

• 群の元の近接度を測るために、$ \mathrm{Sym}(n) $ では正規化されたハミング距離、$ \mathrm{U}(n) $ では正規化されたランク距離を用いる。
• モデル理論および超積の道具を用いて、語写像の漸近的挙動を分析する。
• 組合せ論的および表現論的技法を用いて、語の像のサイズおよび分布を評価する。
• すべての $ n \geq N(\varepsilon, w) $ に対して $ w(G_n) $ が $ G_n $ において $ \varepsilon $-稠密になるような $ N(\varepsilon, w) $ の存在を確立する。
• 問題を、単位元や他の元のまわりの $ \varepsilon $-球を語の像が有限回しか避けることがない、という問題に還元する。
• 有限単純群の構造および語写像の性質を用いて、像の分布における一様性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された非自明な語 $ w $ に対して、$ n \to \infty $ のとき、語写像 $ w: G_n^k \to G_n $ の像は $ G_n $ において $ \varepsilon $-稠密になるか？
• RQ2 ShalevおよびLarsenの語写像の全射性に関する予想は、対称群およびユニタリ群において度合いの稠密性に強化できるか？
• RQ3 すべての $ w(G_n) $ が $ G_n $ において $ \varepsilon $-稠密になるような一様な閾値 $ N(\varepsilon, w) $ が存在するか？
• RQ4 自由超フィルターに関して、$ \mathrm{Sym}(n) $ や $ \mathrm{U}(n) $ の度合いの超積は、非自明な $ w $ に対して全射的な語写像を含むか？
• RQ5 正規化された距離（ハミング距離またはランク距離）は、語写像の像の漸近的分布にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の非自明な語 $ w \in F_k $ に対して、$ N(\varepsilon, w) $ が存在し、すべての $ n \geq N(\varepsilon, w) $ に対して、正規化されたハミング距離またはランク距離に関して $ w(G_n) $ が $ G_n $ において $ \varepsilon $-稠密になる。
• この結果は、対称群およびユニタリ群におけるShalevおよびLarsenの予想の度合いの類似を確認している。
• 非自明な語写像は、自由超フィルターに関して $ \mathcal{G} = (\mathrm{Sym}(n), d_{\mathrm{H}})_n $ または $ (\mathrm{U}(n), d_{\mathrm{rk}})_n $ の度合いの超積において全射である。
• 稠密性の閾値 $ N(\varepsilon, w) $ は $ \varepsilon $ と語 $ w $ のみに依存し、特定の群の列とは無関係である。
• 証明により、大きな対称群およびユニタリ群における語の像の分布の一様性が確立される。
• 語 $ w $ が非自明であれば、その具体的な構造に関わらず、語の像は稠密になる。