[論文レビュー] Word maps with small image in simple groups

Matthew Levy|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限単純群における小さい像を持つ非冪語を構成する。特に、n ≥ 2 に対して SL(2, 2^{2^n}) において、像が正確に単位元と位数17の元の1つの同値類であるような語が存在することを示し、非全射性を証明する。さらに、交換子語と MAGMA の検証を用いて、交換子のサポートサイズ ≤10 の任意の同値類と単位元を含む像を持つ語を、交代群 Alt(n) においても構成する。

ABSTRACT

We construct non-power words which have small image in SL(2; 22n) for each n. In particular, the corresponding word maps are non-surjective. We also use this to construct word maps whose values are precisely the identity and a single equivalence class of elements of order 17. In the second part we construct words which have image consisting of the identity and a single equivalence class of elements in Alt(n) for all n for any equivalence class with support size at most 10.

研究の動機と目的

• 自由群における非冪語を構成し、それが有限単純群における語写像のもとで小さいかつ正確に構造化された像を持つこと。
• n ≥ 2 に対して SL(2, 2^{2^n}) における非全射語写像の存在を示し、特に像が単位元と位数17の元の4つの共役類からなること。
• この構成を交代群 Alt(n) に拡張し、サポートサイズが10以下の任意の同値類が、単位元と合わせて語写像の像として実現可能であることを示すこと。
• SL(4)(2) ≅ Alt(8) の例外的ケースを解消し、(2,2,2,2)-巡回型が Alt(n) における語写像によって実現可能であることを示すこと。

提案手法

• SL(2,q) におけるトレース多項式とジョルダン標準形分類を用いて、固有値とトレースに基づき語写像の像を分析する。
• 指数ベクトル e_k を適切に選んで、[w_{C_1}, w_{C_2}]^{e_i} の形の反復交換子を用いた語の構成により、像の内容を制御する。
• 既知の結果 [4] を用いて、交代群および線型群における語写像の基本的構成を活用する。
• MAGMA を用いた計算により、サポートサイズ ≤10 の巡回型に対して、構成された語が Alt(n) で所望の像集合を達成することを検証する。
• 群論的技法を用いて、像が自己同型群作用に関して閉じていることを保証し、同値類構造を確保する。
• 既存の語のべき乗を用いて、共役類の和集合から目的の1つの同値類を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL(2, 2^{2^n}) において、像が正確に単位元と位数17の元の1つの同値類であるような非冪語を構成可能か？
• RQ2 サポートサイズ ≤10 の Alt(n) のどの同値類に対して、その像が単位元と正確にそのクラスである語写像が存在するか？
• RQ3 有限単純群における語写像の像が、単位元と1つの自己同型同値類の和集合であるような語写像を構成可能か、特に PSL(2,q) でない場合でも可能か？
• RQ4 SL(4)(2) ≅ Alt(8) の例外的ケースは、転置を含む語写像の像の文脈でどのように解消可能か？
• RQ5 どのような技法により、不要な共役類を除外しつつ、望ましい共役類を保持する語写像の像を正確に制御できるか？

主な発見

• n ≥ 2 に対して、任意の SL(2, 2^{2^n}) に対して、単位元と正確に4つの位数17の元の共役類を像に持つ非冪語 w が存在する。
• これは、n ≥ 2 に対して SL(2, 2^{2^n}) における非全射語写像の存在を示し、全射性の可能性に関する予想に対する反例を提供する。
• 構成された語を適切なべき乗に上げることで、像を単位元と位数17の元の1つの同値類に縮小できる。
• 任意の交代群 Alt(n) およびサポートサイズ ≤10 の任意の同値類 C に対して、Alt(n)_{w_C} = {e} ∪ C を満たす語 w_C が存在する。
• 基本語（例：3-巡回、5-巡回）の反復交換子を、適切に選んだ指数を用いて構成することで、目的の巡回型を分離する。
• 例外的ケース SL(4)(2) ≅ Alt(8) は解消され、(2,2,2,2)-巡回型が Alt(n) における語写像の像として実現可能であることが示され、一般結果と整合的である。