[論文レビュー] Word-representability of split graphs

Sergey Kitaev, Yangjing Long+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、独立集合に属する頂点の次数が2以下である場合、またはクランサイズが4である場合の単一部グラフの語表現可能性を、禁止部分グラフを同定することで特徴づけている。単一部グラフにおける半透過的向き付けの必要十分条件を提示し、語表現可能性を向きの性質によって決定するための重要な枠組みを確立している。また、常に語表現可能なグラフクラス $K_{\text{loc}}^k$ と、常に非語表現可能なグラフクラス $A_\text{loc}$ を導入し、それぞれの性質を明らかにした。

ABSTRACT

Letters $x$ and $y$ alternate in a word $w$ if after deleting in $w$ all letters but the copies of $x$ and $y$ we either obtain a word $xyxy\cdots$ (of even or odd length) or a word $yxyx\cdots$ (of even or odd length). A graph $G=(V,E)$ is word-representable if and only if there exists a word $w$ over the alphabet $V$ such that letters $x$ and $y$ alternate in $w$ if and only if $xy\in E$. It is known that a graph is word-representable if and only if it admits a certain orientation called semi-transitive orientation. Word-representable graphs generalize several important classes of graphs such as $3$-colorable graphs, circle graphs, and comparability graphs. There is a long line of research in the literature dedicated to word-representable graphs. However, almost nothing is known on word-representability of split graphs, that is, graphs in which the vertices can be partitioned into a clique and an independent set. In this paper, we shed a light to this direction. In particular, we characterize in terms of forbidden subgraphs word-representable split graphs in which vertices in the independent set are of degree at most 2, or the size of the clique is 4. Moreover, we give necessary and sufficient conditions for an orientation of a split graph to be semi-transitive.

研究の動機と目的

• 単一部グラフ（クランと独立集合に分割されるグラフのクラス）の語表現可能性に関する理解のギャップを埋める。
• 独立集合に属する頂点の次数が2以下である場合の語表現可能な単一部グラフを特徴づける。
• クランサイズが4である場合の語表現可能な単一部グラフを特徴づける。
• 単一部グラフの向き付けが半透過的であるための必要十分条件を提供する。これは語表現可能性の鍵となる性質である。
• 常に語表現可能または最小非語表現可能なグラフクラス $K_{\text{loc}}^k$ および $A_\text{loc}$ を導入し、それらを分析する。

提案手法

• 語表現可能なグラフと半透過的向き付けを許容するグラフとの既知の同値性を活用した。
• クラン内のハミルトンパスに対する近傍構造に基づき、単一部グラフ内の頂点タイプ（A, B, C）を定義し、分析した。
• クラン $K_\text{loc}$ に $\text{loc}$ 個の頂点を追加し、それぞれが円周上の $k$ 個の連続する頂点に接続されるグラフクラス $K_{\text{loc}}^k$ を導入した。条件として $\text{loc} \geq 2k-1$ を課した。
• このような $K_{\text{loc}}^k$ グラフは、クランのトランスティヴな向き付けと適切な頂点タイプの割り当てにより、常に語表現可能であることを確立した。
• 頂点タイプの遷移とショートカット制約を用いて、単一部グラフにおける半透過的向きつけの特徴づけを提供した。
• 定理18を用いて、半透過的向きつけの必要十分条件を導出し、語表現可能な単一部グラフの体系的分類を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立集合に属する頂点の次数が2以下の単一部グラフのうち、語表現可能なものはどれか？
• RQ2 $K_4$ クランを含む単一部グラフのうち、語表現可能なものはどれか？
• RQ3 単一部グラフの向き付けが半透過的であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 単一部グラフクラス内で、本質的に語表現可能または最小非語表現可能なグラフ族は何か？
• RQ5 頂点タイプ（A, B, C）およびそれらの遷移は、単一部グラフの半透過的向きつけにどのように影響するか？

主な発見

• 独立集合に属する頂点の次数が2以下の単一部グラフは、定理12で特徴づけられた特定の禁止部分グラフを避ける場合に限り、語表現可能である。
• $K_4$ クランを含む単一部グラフは、定理14で確立された特定の禁止部分グラフを避ける場合に限り、語表現可能である。
• $K_{\text{loc}}^k$ グラフクラスは、$\text{loc} \geq 2k-1$ を満たす条件下で、$K_\text{loc}$ 円周上に存在する $k$ 個の連続頂点に接続される $\text{loc}$ 個の頂点を追加することで定義され、コロナリー20で示されたように、常に語表現可能である。
• $A_\text{loc}$ グラフクラスは、既知の非語表現可能なグラフ $T_1$ を一般化したものであり、すべての $\text{loc} \geq 4$ に対して最小非語表現可能であることが定理11で証明された。
• 単一部グラフの向き付けが半透過的であるのは、クラン内のハミルトンパスに関して、タイプAまたはBの頂点がショートカット条件を破らない場合に限る。これは定理18で形式化された。
• 独立集合に属するタイプAおよびBの頂点は、半透過性を損なわずに相互に交換可能である。これは定理21で示された。これにより、有効な向きつけにおける構造的対称性が明らかになった。