[論文レビュー] Words avoiding reversed subwords

Narad Rampersad, Jeffrey Shallit|ArXiv.org|Nov 7, 2003

Syntax, Semantics, Linguistic Variation参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、長さが少なくともkである部分語が別の部分語の逆転であるような無限語が存在しないことを調べる。k ≥ 2 に対して、2文字および3文字のアルファベット上に、周期的および非周期的な無限語が反転部分語を避けるように構成され、5文字のアルファベット上では、長さ ≥2 の反転部分語を避ける無限の平方自由語が存在することを示している。主な貢献は、自己写像を用いたこのような語の構成および構造的・組合的議論による存在性と非周期性の証明である。

ABSTRACT

We examine words w satisfying the following property: if x is a subword of w and |x| is at least k for some fixed k, then the reversal of x is not a subword of w.

研究の動機と目的

• 長さが少なくともkである部分語が、別の部分語の逆転であるような無限語が存在するかを特定すること。
• k ≤ 4 のとき、2文字アルファベット上でのこのような語の最大長を特徴づけること。
• より大きなk値に対して、反転部分語を避ける非周期的な無限語を構成すること。
• 無限語における反転部分語回避と平方自由性の相互作用を調査すること。
• 5文字のアルファベットに拡張し、長さ ≥2 の反転部分語を避ける無限の平方自由語の存在を示すこと。

提案手法

• 既知の非周期的または平方自由語から無限語を生成するための自己写像 h: Σ* → Δ* の使用。
• Σ₃ 上で h(0) = 0012, h(1) = 0112 および Σ₂ 上で h(0) = 0001011, h(1) = 0010111 といった特定の自己写像の構成により、反転回避を保証すること。
• 長さkの部分語がその逆転も語に含まれないことを確認することで、反転回避の検証。
• 背理法による非周期性の証明：語が周期的であると仮定すると、元の語にも周期性が生じ、非周期的種まきの選択に矛盾する。
• 3文字アルファベット上でのThueの平方自由語の結果を活用し、構成された無限語の平方自由性を保証すること。
• 組合的議論により、長さkの反転部分語を避ける語であれば、長さkの部分語のみを確認すれば十分であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限アルファベット上に、長さが少なくともkである部分語が、別の部分語の逆転であるような無限語が存在するか？
• RQ2 小さいk値に対して、2文字アルファベット上での反転部分語長kを避ける語の最大長は何か？
• RQ3 k ≥ 3 に対して、反転部分語を避ける非周期的な無限語を構成できるか？
• RQ4 長さ ≥2 の反転部分語を避ける無限の平方自由語を構成することは可能か？
• RQ5 長さ ≥2 の反転部分語を避ける無限の平方自由語を構成するのに必要な最小のアルファベットサイズは何か？

主な発見

• Σ₃ 上に、すべての |x| ≥ 2 に対して反転部分語を避ける無限周期語が存在する。具体的には (012)ω である。
• Σ₃ 上に、すべての |x| ≥ 3 に対して反転部分語を避ける無限非周期語が存在する。非周期的2文字語からの自己写像による構成である。
• 2文字アルファベット上、k ≤ 4 のとき、長さ ≥k の反転部分語を避ける無限語は存在しない。このような語の最大長は8である。
• Σ₂ 上に、|x| ≥ 6 に対して反転部分語を避ける無限非周期語が存在する。自己写像 h(0) = 0001011 および h(1) = 0010111 を用いて構成されたものである。
• 5文字のアルファベット上では、長さ ≥2 の反転部分語を避ける無限の平方自由語が存在する。平方自由3文字語からの自己写像による構成である。
• Σ₂ 上で k ≥ 5 のとき、長さ ≥5 の反転部分語を避ける無限語 (001011)ω が存在する。このような語は、特定の接頭辞制約のもとで最終的に周期的であることが示されている。