[論文レビュー] Worldsheet Instantons and Torsion Curves

Volker Braun, Maximilian Kreuzer+2 more|ArXiv.org|Jan 27, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、トーションホモロジー類を有する非トーリックなカラビ＝ヤウ3-foldに対して、種数0のプリポテンシャルを計算し、有限位数ホモロジー類を有する曲線のグロモフ＝ワインバーグ不変量を明示的に計算している。特定の曲線類が唯一のインスタントンを含むことにより、ベイリー＝ウィッテンのキャンセレーションが発生せず、ヒエラルチカル標準模型のコンパクト化における非摂動的スーパーポテンシャルの生成が可能であることを示している。

ABSTRACT

We study aspects of worldsheet instantons relevant to a heterotic standard model. The non-simply connected Calabi-Yau threefold used admits Z_3 x Z_3 Wilson lines, and a more detailed investigation shows that the homology classes of curves are H_2(X,Z)=Z^3+Z_3+Z_3. We compute the genus-0 prepotential, this is the first explicit calculation of the Gromov-Witten invariants of homology classes with torsion (finite subgroups). In particular, some curve classes contain only a single instanton. This ensures that the Beasley-Witten cancellation of instanton contributions cannot happen on this (non-toric) Calabi-Yau threefold.

研究の動機と目的

• 非トーリックなカラビ＝ヤウ3-foldに、$\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ ワイエルディングラインを有するヒエラルチカル標準模型コンパクト化における種数0プリポテンシャルを計算すること。
• ホモロジー類にトーショングループ成分を含む場合、特に$H_2(X,\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^3 \oplus (\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3)$である場合のグロモフ＝ワインバーグ不変量を特定すること。
• トーショングループ曲線が存在する非トーリックな設定において、ベイリー＝ウィッテンのインスタントン寄与のキャンセレーションが発生するかどうかを調査すること。
• プリポテンシャルを計算するための3つの異なる手法—既知のプリポテンシャルからのオルビフォールディング、直接的な曲線数え上げ、トーリックミラー対称性—を比較すること。
• インスタントン数がトーショングループホモロジー類にどのように依存するかを分析し、その依存関係が消えるか、または残る場合を特定すること。

提案手法

• 既知の$\widetilde{X}$から、$\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ オルビフォールディングを用いてカラビ＝ヤウ3-fold $X$ を構成し、被覆空間上の既知のプリポテンシャルデータを活用した。
• オルビフォールディング手順からの変数変換を適用し、$X$ 上のプリポテンシャルを$E_8$のシータ関数およびモジュラー形式を用いて表現した。
• 二重トーラスファイブレーションにおけるセクションおよび特異なコダイラ型特異点の解析を通じて、$X$ 上での直接的曲線数え上げを実施し、$p$ の線形項までプリポテンシャルを導出した。
• トーリックミラー対称性の手法を用いて、計算リソースの制限により、プリポテンシャルの全級数を数値的に計算した。
• インスタントン作用をケーラーmoduliの単項式に写像する関係式$e^{i\int_C \omega} = \prod q_a^{n_a}$を用い、$q_a = e^{2\pi i t^a}$とした。
• 明示的計算および対称性の議論を用いて、インスタントン数$n_{(n_1,n_2,n_3,m_1,m_2)}$がトーショングループ成分$(m_1,m_2)$にどのように依存するかを分析した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非トーリックなカラビ＝ヤウ3-foldに、$\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ ワイエルディングラインを有するヒエラルチカル標準模型コンパクト化における種数0プリポテンシャルは何か？
• RQ2 トーショングループ成分を含むホモロジー類に対して、グロモフ＝ワインバーグ不変量はどのように振る舞うか。特に、有限位数の曲線類が存在する場合にどうなるか？
• RQ3 この非トーリックなカラビ＝ヤウ3fold設定において、ワールドシートインスタントン寄与のベイリー＝ウィッテンキャンセレーションは発生するか？
• RQ4 なぜ$n_1=1$の曲線に対してはインスタントン数がホモロジー類のトーショングループ部分に依存しないのに対し、$n_1=3$の場合は依存するのか？
• RQ5 プリポテンシャルは、オルビフォールディング、直接的曲線数え上げ、トーリックミラー対称性のどの程度まで計算可能であり、これらの手法はどのように比較できるか？

主な発見

• カラビ＝ヤウ3fold $X$ における種数0プリポテンシャルが明示的に計算され、トーショングループホモロジー類を有する曲線のグロモフ＝ワインバーグ不変量の最初の既知の計算がなされた。
• $n_1=1$ の最小体積曲線に対して、インスタントン数$n_{(1,0,0,*,*)} = 1$である。これは、各々の曲線類が正確に1つのインスタントンを含むことを意味する。
• 9つの最小体積曲線類すべてが唯一のインスタントンしか含まないため、この非トーリックなカラビ＝ヤウ3foldでは、ベイリー＝ウィッテンのインスタントン寄与のキャンセレーションは発生しない。
• インスタントン数$n_{(1,n_2,n_3,*,*)}$は、トーショングループ成分$(m_1,m_2)$に依存しない。これは残留離散対称性に起因するとされる。
• 一方、$n_1=3$ のような高次の曲線類に対しては、インスタントン数$n_{(3,n_2,n_3,m_1,m_2)}$が明示的に$m_1$および$m_2$に依存しており、表3に示されている。
• オルビフォールディング、直接的曲線数え上げ、トーリックミラー対称性の3つの手法は一貫した結果をもたらし、特に$p$の線形項において、計算の正当性を裏付ける非自明なチェックがなされた。