[論文レビュー] Worst Case and Probabilistic Analysis of the 2-Opt Algorithm for the TSP

Matthias Englert, Heiko Röglin+1 more|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Feb 14, 2023

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 13被引用数 33

ひとこと要約

本論文は、ユークリッド空間およびLp空間における2-Optの指数的な下界を証明し、φ摂動入力モデル下での2-Optの改良に対する確率的な上界を導出する。

ABSTRACT

2-Opt is probably the most basic local search heuristic for the TSP. This heuristic achieves amazingly good results on real world Euclidean instances both with respect to running time and approximation ratio. There are numerous experimental studies on the performance of 2-Opt. However, the theoretical knowledge about this heuristic is still very limited. Not even its worst case running time on 2-dimensional Euclidean instances was known so far. We clarify this issue by presenting, for every $p\in\mathbb{N}$, a family of $L_p$ instances on which 2-Opt can take an exponential number of steps. Previous probabilistic analyses were restricted to instances in which $n$ points are placed uniformly at random in the unit square $[0,1]^2$. We consider a more advanced model in which the points can be placed independently according to general distributions on $[0,1]^d$, for an arbitrary $d\ge 2$. In particular, we allow different distributions for different points. We study the expected number of local improvements in terms of the number $n$ of points and the maximal density $ϕ$ of the probability distributions. We show an upper bound on the expected length of any 2-Opt improvement path of $ ilde{O}(n^{4+1/3}\cdotϕ^{8/3})$. When starting with an initial tour computed by an insertion heuristic, the upper bound on the expected number of steps improves even to $ ilde{O}(n^{4+1/3-1/d}\cdotϕ^{8/3})$. If the distances are measured according to the Manhattan metric, then the expected number of steps is bounded by $ ilde{O}(n^{4-1/d}\cdotϕ)$. In addition, we prove an upper bound of $O(\sqrt[d]ϕ)$ on the expected approximation factor with respect to all $L_p$ metrics. Let us remark that our probabilistic analysis covers as special cases the uniform input model with $ϕ=1$ and a smoothed analysis with Gaussian perturbations of standard deviation $σ$ with $ϕ\sim1/σ^d$.

研究の動機と目的

• 2-Opt がユークリッド平面の TSP インスタンス上で指数個のステップを要する可能性があることを示す。
• 密度 φ で境界付きの一般化された確率的入力モデルの下で、2-Opt の性能を分析する。
• 摂動下での2-Opt改良回数の期待値および期待近似比の境界を提供する。
• φ-摂動されたマンハッタン距離や他のLp指標へ前回の結果を拡張し、スムージド解析と関連づける。

提案手法

• Euclidean平面および一般のLp指標においてガジェットベースのインスタンスを用いて指数長の2-Opt改良列を構築する。
• 各点の密度が φ で上限される φ-perturbed 入力モデルを定義し、利用する。
• 指数的な状態遷移を強制するガジェット列を埋め込むことにより下界を証明する。
• マンハッタン距離およびユークリッド距離の指標に対して、φ-perturbed 入力下で最長の2-Opt経路の長さの期待値の上界を導出する。
• ヒューリスティックな初期ツアーの挿入が、期待ステップ数を Theorem 3 によって削減できることを示す。
• φ-perturbed 入力下で最悪の局所的に最適なツアーの期待近似因子を分析する（Theorem 4）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-Opt はEuclidean平面で指数長の改良列を示せるか？
• RQ2 密度境界φを持つ一般化された確率的入力モデルの下で、2-Opt の性能はどのように変化するか？
• RQ3 φ-摂動されたマンハッタンおよびユークリッドのインスタンスに対する2-Opt 改良の期待回数の上界は何か？
• RQ4 挿入ヒューリスティックツアーから開始することが、2-Opt の期待実行時間と近似品質にどう影響するか？
• RQ5 φ-perturbed 入力におけるLp指標全般で、最悪の2-Opt局所最適解の期待近似比はどれくらいか？

主な発見

• すべての p ∈ {1,2,3,...,∞} および n に対して、16n 頂点を持つ2D Lp TSP インスタンスが存在し、その2-Opt状態グラフは長さ 2^{n+4}-22 のパスを含む。
• n点の φ-perturbed ユークリッドインスタンスに対して、最長の2-Opt経路の期待長は O(n^{4+1/3} φ^{8/3} log(nφ))。
• n点の φ-perturbed マンハッタンインスタンスでは期待長は O(n^{4} φ)。
• 挿入ヒューリスティック初期化を用いると、φ-perturbed マンハッタンインスタンスでの2-Optステップの期待回数は O(n^{4-1/d} log n · φ)。
• φ-perturbed Lp インスタンスに対して、最悪の局所的に最適な2-Optツアーの期待近似比は O(φ^{1/d})。