[論文レビュー] Worst Case to Average Case Reductions for Polynomials

Tali Kaufman, Shachar Lovett|ArXiv.org|Jun 27, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、任意の有限体上の多項式におけるバイアスが低ランクを意味することを確立し、グリーンとトウの予想を解決した。さらに、多項式における最悪ケースから平均ケースへの還元を証明した：度数-$d$ の多項式が少ない有界度数の多項式で近似可能であるならば、その多項式は同様の多項式の少ない集合によって正確に計算可能であり、入力サイズに依存しない明示的な境界を伴う。

ABSTRACT

A degree-$d$ polynomial $p$ in $n$ variables over a field $\F$ is {\em equidistributed} if it takes on each of its $|\F|$ values close to equally often, and {\em biased} otherwise. We say that $p$ has a {\em low rank} if it can be expressed as a bounded combination of polynomials of lower degree. Green and Tao [gt07] have shown that bias imply low rank over large fields (i.e. for the case $d < |\F|$). They have also conjectured that bias imply low rank over general fields. In this work we affirmatively answer their conjecture. Using this result we obtain a general worst case to average case reductions for polynomials. That is, we show that a polynomial that can be {\em approximated} by few polynomials of bounded degree, can be {\em computed} by few polynomials of bounded degree. We derive some relations between our results to the construction of pseudorandom generators, and to the question of testing concise representations.

研究の動機と目的

• グリーンとトウの予想を解決すること：バイアスが任意の有限体（特に大きな体に限らない）で多項式の低ランクを意味することを示すこと。
• 多項式における最悪ケースから平均ケースへの還元を確立すること：近似に少ない低次多項式が使われるならば、その多項式は同様の多項式の少ない集合によって正確に計算可能であることを示すこと。
• 与えられた多項式を計算または近似するために必要な低次多項式の数に対する明示的で次元に依存しない境界を提供すること。
• 大きな体からの結果を一般の有限体へ拡張し、バイアスが低ランクを意味する現象が体のサイズにかかわらず一貫して成り立つことを示すこと。

提案手法

• 度数 $d$ における帰納法を用いて定理2を証明し、度数-$d$ の多項式がバイアス $\geq \delta > 0$ を持つならば、その $d$-階ランクが $c(d,\delta)$ で有界であることを示す。
• 低ランク分解の構築要素として、$p(X+a) - p(X)$ の形の微分を用い、$n$ に依存しないランクの有界性を保証する。
• 近似関数 $F(g_1, \dots, g_c)$ にフーリエ解析を適用し、バイアスを持つ多項式 $p' = p - \sum \alpha_i g_i$ に対応する非無視可能なフーリエ係数を同定する。
• バイアスを持つ $p'$ に対して定理2を適用し、それを有界数の微分の関数として表現する。その後、$\sum \alpha_i g_i$ と組み合わせて $p$ を再構成する。
• ハイパーキューブと $\mathbb{F}^n$ 内の領域に関する確率的および組合せ的議論を用い、カウチ＝シュワルツと和集合の上限を適用して、$p$ がほとんどすべての領域で定数ならば、全体でも定数であることを示す。
• もし $p$ が領域の $1 - 2^{-(d+2)}$ の割合で定数ならば、$p$ は全体で定数であることを示す。$d+1$ 重の微分恒等式 $\sum_{I \subseteq [d+1]} (-1)^{|I|} p(x + y_I) = 0$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイアスが低ランクを意味する現象は、小さな体を含むすべての有限体で成り立つのか、それとも大きな体でのみ成り立つのか？
• RQ2 定数個の有界度数多項式で近似可能な多項式は、定数個の同様の多項式によって正確に計算可能か？
• RQ3 一般の有限体において、ランクがバイアス $\delta$ と度数 $d$ にどのように依存するか？
• RQ4 多項式の微分の構造は、そのランクとバイアスとどのように関係するか？
• RQ5 多項式計算の最悪ケース複雑度を、構造的性質を介して平均ケース近似境界に還元できるか？

主な発見

• 定理2は、すべての有限体上でバイアスが低ランクを意味することを確認した：$\text{bias}(p) \geq \delta > 0$ ならば、$\text{rank}_{d-1}(p) \leq c(d,\delta)$ であり、$c$ は $n$ に依存しない。
• ランクは、$p(X+a) - p(X)$ の形の微分のみを用いて達成され、これらはすべて度数 $\leq d-1$ の多項式である。
• 定理3は、最悪ケースから平均ケースへの還元を確立した：度数-$d$ の多項式 $p$ が $c$ 個の度数 $k$ の多項式で $\delta$-近似可能ならば、$p$ は $c' = c'(d,c,k)$ 個の度数 $\leq d-1$ の多項式によって正確に計算可能であり、$n$ に依存しない。
• 正確な表現における近似多項式は、$p$ や $g_j$ の微分であるか、それらの線形結合からなるため、度数が有界で明示的な構造を持つ。
• 証明は、近似からバイアスを持つ成分を抽出するためにフーリエ解析を用い、その後定理2を適用して分解する。
• 結果はすべての有限体に一様に成り立ち、バイアスが低ランクを意味する現象が、大きな体に限定されず、一貫して成立することが示された。これは、ガウスノルムの逆予想とは異なり、ロバストである。