[論文レビュー] $\wp$-adic continuous families of Drinfeld eigenforms of finite slope

Shin Hattori|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、関数体上の有限スロープのドリンフェルト固有形式のp進連続的族を構成し、Hida理論をドリンフェルトモジュラー設定へ一般化する。小さなスロープの仮定とレベルに次数1の素イデアル因子がある場合、ヘッケ固有値が重み間でp進的に連続的に変化することを証明し、重みkからより高い重みk'へ固有形式を拡張する際、制御された℘-進合同関係を保つ。

ABSTRACT

Let $p$ be a rational prime, $v_p$ the normalized $p$-adic valuation on $\mathbb{Z}$, $q>1$ a $p$-power and $A=\mathbb{F}_q[t]$. Let $\wp\in A$ be an irreducible polynomial and $\mathfrak{n}\in A$ a non-zero element which is prime to $\wp$. Let $k\geq 2$ and $r\geq 1$ be integers. We denote by $S_k(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ the space of Drinfeld cuspforms of level $Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r)$ and weight $k$ for $A$. Let $n\geq 1$ be an integer and $a\geq 0$ a rational number. Suppose that $\mathfrak{n}\wp$ has a prime factor of degree one and the generalized eigenspace in $S_k(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ of slope $a$ is one-dimensional. In this paper, under an assumption that $a$ is sufficiently small, we construct a family $\{F_{k'}\mid v_p(k'-k)\geq \log_p(p^n+a)\}$ of Hecke eigenforms $F_{k'}\in S_{k'}(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ of slope $a$ such that, for any $Q\in A$, the Hecke eigenvalues of $F_k$ and $F_{k'}$ at $Q$ are congruent modulo $\wp^κ$ with some $κ>p^{v_p(k'-k)}-p^n-a$.

研究の動機と目的

• Hida型のp進族を関数体設定におけるドリンフェルトモジュラー形式へ拡張すること。
• 標準的な特徴多項式法が機能しない非ネーター的基底環の欠如という問題に対処すること。
• 有限スロープのドリンフェルト固有形式のp進族におけるヘッケ固有値の連続的変動を確立すること。
• 特定のスロープおよび重み条件の下で、変化する重みにおけるヘッケ作用素の固有値が高次の℘の冪で合同である条件を示すこと。

提案手法

• 小さなスロープの仮定の下で、$ v_p(k' - k) \to \frac{1}{2} $ を満たす重み$ k' $に対して、$ S_{k'}(\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)) $ 内のヘッケ固有形式の族$ F_{k'} $ を構成する。
• スロープ$ a $の一般化された固有空間が1次元であることを利用し、$ a < \text{min}\big\brace{D(n,d,\theta), k-1\big\brace} $ と仮定する。ここで$ d = [\tilde{\rho}_1(\frak{p}):\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)] $ である。
• \frak{p} 進付値条件を適用する：$ v_{\frak{p}}(\tilde{\rho}_\frak{p}(\tilde{\rho}_Q(F_{k'}) - \tilde{\rho}_Q(F_k))) > p^{v_p(k'-k)} - p^n - a $ であり、これは固有値の連続性を保証する。
• モジュラー空間およびヘッケ作用の構造を制御可能にするために、$ \frak{n}\frak{p} $ に次数1の素イデアル因子$ \frak{p} $ が存在することに依存する。
• $ \frak{p} $ 進完備化$ \bb{C}_{\frak{p}} $ と正規化された$ \frak{p} $ 進付値$ v_{\frak{p}} $ を用いて、固有値の合同関係を定義する。
• ドリンフェルトモジュラー形式における調和コサイクルおよびヘッケ作用素の理論を用い、具体的には$ k=10,19 $ などの低重みケースでの明示的計算により、合同関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体設定において、数体におけるHida族に類似した、有限スロープのドリンフェルト固有形式のp進族を構成できるか？
• RQ2 基底環がネーター的でない場合、ヘッケ固有値が重みに関してどのように連続的に変化するか？
• RQ3 ヘッケ作用素の固有値が、変化する重みにおいて高次の$ \frak{p} $ の冪で合同であるための条件は何か？
• RQ4 このような族における固有値差の$ \frak{p} $ 進付値の明確な上限は何か？
• RQ5 すべてのヘッケ作用素において一定の固有値を持つ、スロープゼロの非自明な固有形式は存在するか？

主な発見

• 重み$ k \to k' $ で$ v_p(k' - k) \to \frac{1}{2} $ のとき、$ a < D(n,d,\theta) $ かつ$ d(k,a) = 1 $ の条件下で、$ S_{k'}(\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)) $ 内にスロープ$ a $ のドリンフェルト固有形式の族$ F_{k'} $ が存在する。
• ヘッケ固有値$ \tilde{\rho}_Q(F_{k'}) $ と$ \tilde{\rho}_Q(F_k) $ は、$ v_{\frak{p}}(\tilde{\rho}_\frak{p}(\tilde{\rho}_Q(F_{k'}) - \tilde{\rho}_Q(F_k))) > p^{v_p(k'-k)} - p^n - a $ を満たし、強い$ \frak{p} $ 進連続性を示している。
• $ \frak{n} = 1, \frak{p} = t, r=1 $ の場合、境界は$ D(1,1,1) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) $ となり、$ k \to k' $ のとき、固有値合同関係は$ t^{q^s - p} $ で成立する。
• スロープゼロの固有形式$ S_k(\tilde{\rho}_1(t)) $ に対して、すべてのヘッケ固有値$ \tilde{\rho}_Q(F_k) = 1 $ である。これは高重量への持ち上げと形式の一意性により示される。
• スロープ1の場合、$ p = q = 3 $、$ k = 10 $、$ k' = 19 $ とすると、固有値差$ \tilde{\rho}_t(G_{10}) - \tilde{\rho}_t(G_{19}) $ の$ t $-進付値は正確に9であり、$ > 5 $ の境界を満たしている。
• ヘッケ固有値は低レベルの形式から安定化されていないため、これらの形式は本質的に新しいものであり、$ t $-安定化ではない。