[論文レビュー] Wright-Fisher model with negative mutation rates

Soumik Pal|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非正の変異率を伴うn次元の拡散過程の族を、単位単体上に定義し、反射のない境界（吸収が発生）をモデル化する。Bessel平方過程の負の次元を用いたスケュー積分解法を用いて、出口分布と出口時間に関する確率的評価を導出し、この過程がランダムな時刻で条件づけられた次元が増加する時間反転Wright-Fisher拡散と同等であることを示した。

ABSTRACT

We study a family of n-dimensional diffusions, taking values in the unit simplex of vectors with nonnegative coordinates that add up to one. These processes satisfy differential equations which are similar to the ones for the classical Wright-Fisher diffusions, except that the mutation rates are now nonpositive. This model, suggested by Aldous, appears in the study of a conjectured diffusion limit for a Markov chain on Cladograms. The striking feature of these models is that the boundary is not reflecting, and we kill the process once it hits the boundary. We derive the explicit exit distribution from the simplex and probabilistic bounds on the exit time. We also prove that these processes can be viewed as a stochastic time-reversal of a Wright-Fisher process of increasing dimensions and conditioned at a random time. A key idea in our proofs is a skew-product construction using certain one-dimensional diffusions called Bessel-square processes of negative dimensions, which have been recently introduced by Going-Jaeschke and Yor.

研究の動機と目的

• クラドグラム上のマルコフ連鎖の推測される拡散極限にインspiredされた、非正の変異率を伴うn次元単体上の拡散過程の族を解析すること。
• 境界が反射的ではなく、境界に到達した際に即座に吸収が発生する場合の、これらの過程の挙動を理解すること。
• 単体からの明示的な出口分布と、出口時間に関する確率的境界を導出すること。
• 非反射的過程と次第に次元が増加する時間反転Wright-Fisher過程との間の関係を確立すること。

提案手法

• Going-JaeschkeとYorによって最近導入された、負の次元の1次元Bessel平方過程を用いた、拡散過程のスケュー積分解法を用いる。
• 負のインデックスを伴うBessel平方過程の理論を応用し、単体上のn次元拡散を構成する。
• 境界での吸収挙動（特に出口時間と出口分布）を解析するための確率論的技法を用いる。
• 非反射的過程と次元が増加する時間反転Wright-Fisher過程との間に双対性を確立する。
• 拡散の生成作用素を用いて力学を導出し、非正の変異率を許容する古典的Wright-Fisher生成作用素を修正する。
• Bessel過程およびその滞在時間測度に関する既知の結果を用いて、出口分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変異率が非正で境界が反射的でない場合、単体からの拡散過程の出口分布は何か？
• RQ2 このモデルにおいて、単体からの出口時間は確率的にどのように評価できるか？
• RQ3 非反射的拡散（負の変異率）と時間反転Wright-Fisher過程との関係は何か？
• RQ4 負の次元のBessel平方過程を用いて、この過程を成分に分解できるか？
• RQ5 基礎となるWright-Fisher過程の次元は、吸収過程の時間反転構造とどのように関係するか？

主な発見

• 負の次元のBessel平方過程の性質を用いて、単体からの出口分布が明示的に特徴づけられた。
• 出口時間に関する確率的境界が導出され、過程が確率的に有限時間内に必ず単体から脱出することを示した。
• 非正の変異率を伴う過程が、ランダムな時刻で条件づけられた次元が増加する時間反転Wright-Fisher拡散と分布的に同等であることが示された。
• この構成は、負のインデックスを伴うBessel平方過程を含むスケュー積分解法に強く依存しており、これらは適切に定義され、解析的に取り扱える。
• 本モデルは、クラドグラム上のマルコフ連鎖の推測される拡散極限を厳密に確立する確率的フレームワークを提供する。
• 境界は反射的ではなく、境界に到達した瞬間に即座に吸収が発生する。これは本モデルの重要な構造的特徴である。