[論文レビュー] Wrinkling hierarchy in constrained thin sheets from suspended graphene to curtains

Hugues Vandeparre, Miguel Piñeirúa+8 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Dec 20, 2010

Advanced Materials and Mechanics参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、境界による制約下での薄膜における階層的しわの形成を記述する普遍的なスケーリング理論を提案する。この理論の核となるのは「わだち（wrinklon）」と呼ばれる、合体するしわの間の局所的遷移領域である。理論は、サスペンデッドグラフェン（ナノメートルスケール）から垂れ下がるカーテン（メートルスケール）まで、広いスケールで裏付けられており、曲げエネルギーと張力エネルギーのバランスによるエネルギー最小化によって、自己相似的波長の進化 λ ∼ x^m が説明される。軽い膜では m ≈ 2/3、重い膜や張力下のグラフェンでは m ≈ 1/2 となる。

ABSTRACT

We show that thin sheets under boundary confinement spontaneously generate a universal self-similar hierarchy of wrinkles. From simple geometry arguments and energy scalings, we develop a formalism based on wrinklons, the transition zone in the merging of two wrinkles, as building-blocks of the global pattern. Contrary to the case of crumple paper where elastic energy is focused, this transition is described as smooth in agreement with a recent numerical work. This formalism is validated from hundreds of nm for graphene sheets to meters for ordinary curtains, which shows the universality of our description. We finally describe the effect of an external tension to the distribution of the wrinkles.

研究の動機と目的

• 一端が固定された薄膜に見られるナノスケールのグラフェンからマクロスケールのカーテンに至るまで、広いスケールにわたる自己相似的階層的しわの発生を説明すること。
• 「わだち」——合体するしわの間の局所的遷移領域——を同定・特徴づけ、それが全体のしわ模様の基本的構築単位であることを示すこと。
• 材料の性質、厚さ、重力や外部張力といった外力の違いにかかわらず、薄膜の挙動を統一するスケーリング理論を構築すること。
• サスペンデッドバイレイヤーグラフェン、ラバーカーテン、布のカーテン、ポリスチレン膜といった複数の系において、理論モデルを実験的に検証すること。
• エネルギーバランスとスケーリング則を用いて、しわ模様における引張支配と伸長支配の領域の遷移を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、横方向（y方向）に不変な伸びを仮定した薄い弾性膜として、しわだらけの膜をモデル化し、波動を誘発する有効な横方向圧縮 Δ ∼ (A/λ)^2 を導入する。
• 曲げエネルギー密度は u_b ∼ Eh³Δ/λ² で与えられ、ここで E はヤング率、h は厚さ、A は振幅、λ は波長である。
• 全エネルギーは、曲げエネルギー U_b と張力エネルギー U_t ∼ TΔλ³L⁻¹ のバランスをとることで最小化される。ここで T は縦方向の引張力である。
• エネルギー最小化に基づき、わだちの長さ L(λ) ∼ λ²/h × √(T/(Eh)) が導出され、これが波長の空間的進化を支配する。
• 結果として得られる波長の進化は、λ(x)/h ∼ (Eh/T)^{1/4} × (x/h)^{1/2} と予測され、これは引張支配系に有効である。
• 理論は、フィッティングパラメータなしに、重い膜やグラフェンの実験データと照合され、一様なマスターカーブへの収束が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界による制約下で、薄膜がどのようにしてナノスケールのグラフェンからマクロスケールのカーテンに至るまで、広いスケールにわたって自己相似的階層的しわを自発的に生成するのか？
• RQ2 局所的遷移領域である「わだち」は、全体の階層的しわ模様形成において果たす役割は何か？
• RQ3 曲げエネルギーと張力エネルギーのバランスが、制約された薄膜における波長 λ(x) の空間的進化をどのように支配するのか？
• RQ4 グラフェン、ラバー、布、ポリスチレンといった異なる材料が、なぜ λ ∼ x^m のべき乗則スケーリング指数 m ≈ 1/2 または 2/3 を示すのか？
• RQ5 しわ模様における伸長支配（m ≈ 2/3）と引張支配（m ≈ 1/2）の領域の遷移を決定するのは何か？

主な発見

• 制約された端から距離 x が増加するに従い、しわの波長 λ が λ ∼ x^m と進化する。軽い膜（例えば、紙、短い布）では m ≈ 2/3、重い膜（例えば、ラバー、布、張力下のグラフェン）では m ≈ 1/2 となる。
• 理論的予測 λ(x)/h ∼ (Eh/T)^{1/4} × (x/h)^{1/2} は、重い膜およびグラフェンの実験データとフィッティングパラメータなしに一致し、モデルの普遍性が裏付けられた。
• 伸長支配から引張支配への遷移の臨界長尺度 x* は、x*/h ∼ (Eh/T)^{3/2}Δ で与えられ、ここで Δ は横方向圧縮である。
• 重力支配のカーテンでは、臨界高さ H_c ∼ h(E/ρgh)^{3/5}Δ^{2/5} が引張支配に移行する境界を決定し、一般的な布のカーテンでは H_c ≈ 1 m となる。
• エネルギー最小化から導かれたわだちの長さ L(λ) ∼ λ²/h × √(T/(Eh)) は、自己相似的パターン形成を支配する。
• サスペンデッドグラフェン（λ ∼ x^0.45±0.02）、ラバーカーテン（m ≈ 1/2）、布のカーテン（m ≈ 1/2）の実験データは、6桁以上のスケールにわたって一様なマスターカーブに収束し、スケーリング理論の妥当性が実証された。