[論文レビュー] WSLD operators: A class of fourth order difference approximations for space Riemann-Liouville derivative

Minghua Chen, Weihua Deng|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、空間リーマン＝リウヴィル分数マージン導関数を近似するための、新たな4次精度有限差分スキームである重み付き・シフト付きルビッチ差分（WSLD）作用素を導入する。ルビッチの畳み込み・クワドラチャフレームワークを重み付き・シフト付き係数で変更することにより、計算効率を保ちながら空間で4次精度を達成し、理論的に無条件安定性を示し、グローバルな切り捨て誤差が$ olimits\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$であることが証明されている。1次元および2次元の変数係数分数拡散方程式において数値的にも検証された。

ABSTRACT

Because of the nonlocal properties of fractional operators, higher order schemes play more important role in discretizing fractional derivatives than classical ones. The striking feature is that higher order schemes of fractional derivatives can keep the same computation cost with first-order schemes but greatly improve the accuracy. Nowadays, there are already two types of second order discretization schemes for space fractional derivatives: the first type is given and discussed in [Sousa & Li, arXiv:1109.2345; Chen & Deng, arXiv:1304.3788; Chen et al., Appl. Numer. Math., 70, 22-41]; and the second type is a class of schemes presented in [Tian et al., arXiv:1201.5949]. The core object of this paper is to derive a class of fourth order approximations, called the weighted and shifted Lubich difference (WSLD) operators, for space fractional derivatives. Then we use the derived schemes to solve the space fractional diffusion equation with variable coefficients in one-dimensional and two-dimensional cases. And the unconditional stability and the convergence with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+h^4)$ are theoretically proved and numerically verified.

研究の動機と目的

• 空間分数マージン導関数の高次精度・安定的かつ効率的な数値スキームの開発。これらは非局所的であり、正確に離散化することが難しい。
• 既存の2次精度スキーム（例：WSGDおよび区分線形近似を用いた中心差分）を、計算コストを増加させることなく4次精度に拡張すること。
• 変数係数分数拡散方程式に対し、安定性と高精度を維持する重み付き・シフト付きルビッチ差分（WSLD）作用素のクラスを構築すること。
• 提案スキームの無条件安定性および収束性を厳密に証明し、グローバル切り捨て誤差が$\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$であることを示すこと。
• 1次元および2次元問題における収束速度および安定性の理論的予測を、数値的に検証すること。

提案手法

• WSLD作用素は、分数マージン導関数のためのルビッチの$L$次精度畳み込み・クワドラチャの係数に重みとシフトを適用することで導出される。
• 生成関数$\delta^\alpha(\zeta) = \left(\sum_{i=1}^L \frac{1}{i}(1 - \zeta)^i\right)^\alpha$を用いて差分スキームを定義し、$L=4$とすることで4次精度が得られる。
• 時間方向にはクランク＝ニコルソン型の時間離散化を用い、時間方向に2次精度を達成する。
• スペクトル解析を用いて安定性を証明し、システム行列の逆行列の2ノルムが1未満であることを示し、無条件安定性を保証する。
• テイラー展開および分数マージン微積分を用いて切り捨て誤差を解析し、グローバル誤差バウンド$\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$を導出する。
• 数値実験では、1次元および2次元領域における正確な解を用い、最大誤差および収束速度を$l_\infty$ノルムで測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間でリーマン＝リウヴィル分数マージン導関数に対して、安定的かつ効率的な有限差分スキームを用いて4次精度を達成できるか？
• RQ2 重み付き・シフト付きルビッチ差分（WSLD）作用素は、低次精度スキームよりも精度を向上させつつ、無条件安定性を維持できるか？
• RQ3 変数係数空間分数拡散方程式にWSLDスキームを適用した際のグローバル収束速度は何か？
• RQ4 WSLD法は、1次精度スキームと同等の計算コストで実現できるが、著しく精度を向上させられるか？
• RQ5 非一様係数を有する多次元問題において、WSLD作用素はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• WSLD作用素は4次空間精度を達成し、グローバル切り捨て誤差が$\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$であることが理論的および数値的に確認された。
• 1次元問題の数値結果では、$h=1/10$から$h=1/60$の間で収束速度が約3.7～4.0であったため、空間方向の4次収束が確認された。
• 2次元問題では、収束速度が3.5～4.0であったため、WSLDスキームの空間収束が$\mathcal{O}(h^4)$であることが検証された。
• システム行列の逆行列のスペクトルノルムが有界なまま維持されることから、無条件安定性が保たれている。これは、時間ステップにわたる安定性を保証する。
• システム行列がトーペリッツ型の構造を有するため、FFTに基づく手法を用いて効率的に解くことができ、計算コストは1次精度スキームと同等に保たれた。
• 正確な解を用いた検証により、1次元および2次元の分数拡散方程式における変数係数に対しても、本手法は精度と収束性を適切に満たしていることが示された。