[論文レビュー] WWW and Internet models from 1955 till our days and the ``popularity is attractive'' principle

S. N. Dorogovt︠s︡ev, J. F. F. Mendes+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2000

Web visibility and informetrics被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、成長するネットワークの一般化された優先的付加モデルを提示し、べき乗則度分布のスケーリング指数γがγ = 2 + (n_r + n + B)/mで与えられることを示している。ここでmは1ステップあたりの新規リンク数、n_rはランダムに追加されるリンク数、nは新規ノードへの初期リンク数、Bは定数である。このモデルは1955年のシモンのモデルとバラバシ＝アルバートモデルを一般化しており、WWW、インターネット、および他の複雑系におけるスケールフリーネットワーク形成の背後にある「人気は魅力的である」という原則を示している。

ABSTRACT

We note that the model discussed in the communication of S. Bornholdt and H. Ebel (World Wide Web scaling exponent from Simon's 1955 model, cond-mat/0008465) is the particular case of the model considered and solved exactly in our paper, cond-mat/0004434. These models may be used for estimation of the order of the deviation of the scaling exponent from 2 both for the distributions of incoming links and links coming out from nodes but not for the obtaining some specific values of the exponents from the WWW growth data. We emphasize that, unlike the statement of Bornholdt and Ebel, both the network under consideration and the model of Barabási and Albert provide quite equal possibilities for individual growth. There is no great difference between them in this respect. The resulting distributions for individual nodes and arising scaling relations have been obtained in our paper, cond-mat/0004434. We discuss briefly the modern state of art in the physics of the evolving networks and the great role of the general principle -- {\em popularity is attractive} -- in the self-organization of complex communications networks, in physics of nonequilibrium phenomena, and in Nature.

研究の動機と目的

• 以前の研究で提唱されたより広範な優先的付加フレームワークと、シモンの1955年モデルおよびバラバシ＝アルバートモデルとの関係を明確にすること。
• 本稿で提示するモデルがボーンホルトとエーベルのモデルを包含・一般化しており、成長率の差異に関する主張を解消すること。
• 成長ネットワークにおける接続度分布のスケーリング指数γの統一的で数学的に厳密な導出を提供すること。
• 『人気は魅力的』という原則が、WWW やインターネットを含む進化するネットワークを形作る普遍性を強調すること。
• γの特定の実験的値を予測するモデルの限界を明確にしつつ、γ = 2からのずれの推定を可能にすること。

提案手法

• 各新規ノードが、既存ノードの現在のインデグリーkに比例する確率（k + Aに比例、A = B + n）でm本の有向リンクを追加する成長ネットワークモデルを形式化する。
• 3つの主要パラメータを導入する：m（1ステップあたりの優先的リンク数）、n_r（ランダムに追加されるリンク数）、n（新規ノードへの初期リンク数）、Bは正の値を保証する定数。
• 連続時間近似を用いて、時刻sに生成され時刻tに観測されたノードの平均インデグリー〈k(s,t)〉の偏微分方程式を導出する。
• スケーリング仮定の下で得られた方程式を解き、スケーリング指数β = m / (m + n_r + n + B)を導出し、スケーリング関係β(γ − 1) = 1を導出する。
• 正確なスケーリング指数の式を導出：γ = 2 + (n_r + n + B)/m（大規模ネットワークに対して有効）。
• 個々のノードの次数のスケーリング関数がf(x) = x^{A−1}exp(−x)であることを示し、これはスケールフリー行動を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された優先的付加モデルは、シモンの1955年モデルおよびバラバシ＝アルバートモデルとどのように関係しているか？
• RQ2 このモデルは、WWWのインboundリンク分布における観察されたスケーリング指数γ ≈ 2.1を説明できるか？もし可能であれば、どのような条件下か？
• RQ3 ランダムリンクの追加（n_r）と初期の魅力（n + B）が、γが2からどれほどずれるかを決定する役割を果たすか？
• RQ4 ボーンホルトとエーベルが、彼らのモデルとバラバシ＝アルバートのモデルの間で成長率の能力に差異があると主張するのはなぜ誤りか？
• RQ5 『人気は魅力的』という原則は、WWW やインターネットのような複雑ネットワークの自己組織化をどのように支配するか？

主な発見

• 接続度分布のスケーリング指数は、正確にγ = 2 + (n_r + n + B)/mで与えられ、これはスケーリング指数に対して正確な結果をもたらす連続近似から導出されたものである。
• このモデルは、シモンの1955年モデルとバラバシ＝アルバートモデルの両方を一般化しており、n_r = 0かつn + B = mのとき、後者は特別な場合となる。
• このモデルは、ボーンホルト＝エーベルモデルとバラバシ＝アルバートモデルの両方が個々のノードの成長に対して同等の可能性を提供することを示しており、非対称性に関する主張を否定する。
• 個々のノード次数のスケーリング関数はf(x) = x^{A−1}exp(−x)であり、これは広範な分布を示しており、ノード次数の広がりを確認する。
• すべてのスケールフリー・ネットワークに対して、β(γ − 1) = 1というスケーリング関係が普遍的に成り立つ。ここでβ = m / (m + n_r + n + B)である。
• このモデルは、γが2からどれほどずれているかの程度（例：WWWではγ ≈ 2.1）を推定できるが、データから正確な実験的値を予測することはできない。