[論文レビュー] X-matrices provide a lower bound of concurrence

Seyed Mohammad Hashemi Rafsanjani, Shantanu Agarwal|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2012

graph theory and CDMA systems被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特定のスパarsityパターンを持つX行列（X-matrices）を用いた、二粒子量子状態のconcurrenceの基礎依存下界を導入する。この手法により、完全な状態トモグラフィーを必要とせず、計算が簡単で解析的な下界が得られ、真のconcurrence以下の値を常にとる。この下界は、任意次元系へ一般化可能であり、非分離性の十分条件を提供する。

ABSTRACT

By focusing on the X-matrix part of a density matrix of two qubits we provide an algebraic lower bound for the concurrence. The lower bound is generalized for cases beyond two qubits and can serve as a sufficient condition for non-separability for bipartite density matrices of arbitrary dimension. Experimentally, our lower bound can be used to confirm non-separability without performing a complete state tomography.

研究の動機と目的

• 二量子ビット密度行列に対して、X行列構造を用いた計算的に取り扱いやすいconcurrenceの下界を確立すること。
• この下界を二粒子系の任意次元系へ一般化し、量子ビットを超えたエンタングルメント検出を可能にすること。
• 完全な状態再構成を避けて、X行列のconcurrenceに基づく非分離性の十分条件を提供すること。
• 特に等方的状態に対して既知の正確なconcurrence値と比較して、下界を検証すること。
• 下界が少数の密度行列要素のみを必要とすることを示し、実験的適用可能性を検討することにより、トモグラフィーの負荷を軽減すること。

提案手法

• 二量子ビット密度行列を、主対角線および反対角線にのみ非ゼロ要素を持つX行列（非ゼロ要素が主対角線および反対角線に限られる）と、Xパターンの補完となる非対角要素を持つO行列に分解する。
• X行列のconcurrenceを $ C(\hat{X}) = \text{Max}\{0, C_1(\hat{X}), C_2(\hat{X})\} $ として定義し、ここで $ C_1(\hat{X}) = 2(|Q_{14}| - \sqrt{Q_{22}Q_{33}}) $ および $ C_2(\hat{X}) = 2(|Q_{23}| - \sqrt{Q_{11}Q_{44}}) $ である。
• 純状態に対して三角不等式を用い、混合状態に対しては凸包最小化を用いて、任意の二量子ビット状態 $ \hat{Q} $ に対して $ C(\hat{X}) \leq C(\hat{Q}) $ が解析的に証明される。
• 高次元系への一般化のために、$ C_{ik,jl}(\hat{Q}) = 2(|Q_{ik,jl}| - \sqrt{Q_{il,il}Q_{jk,jk}}) $ を定義し、$ i<j, k<l $ における最大値がconcurrenceの下界を提供する。
• $ I $-concurrence形式を用いて、$ d \times d $ 系へのconcurrenceの定義を拡張し、下界が保存され、基礎に依存する性質を保つようにする。
• 等方的状態の下界と正確なconcurrenceを比較し、$ F \geq 1/d $ のとき下界がタイトであり、分離可能な状態ではゼロになることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度行列のX行列構造が、二量子ビット状態の真のconcurrenceに対する信頼できる下界を提供できるか？
• RQ2 この下界が、任意次元の二粒子系へ一般化された場合でも有効で有用であるか？
• RQ3 この下界が、完全な状態トモグラフィーを伴わずに非分離性の十分条件として機能できるか？
• RQ4 下界が真のconcurrenceと等しくなる条件は何か？
• RQ5 等方的状態のような既知の正確なconcurrence値に対して、下界は定量的にどの程度の性能を示すか？

主な発見

• X行列成分のconcurrence $ C(\hat{X}) $ は、常に真のconcurrence $ C(\hat{Q}) $ 以下であり、厳密な下界を提供する。
• 二量子ビット状態では、下界が $ C(\hat{X}) = \text{Max}\{0, 2(|Q_{14}| - \sqrt{Q_{22}Q_{33}}), 2(|Q_{23}| - \sqrt{Q_{11}Q_{44}})\} $ で与えられ、対角化を必要とせず計算可能である。
• この下界は $ d \times d $ 系へ一般化可能であり、$ i<j, k<l $ における $ C_{ik,jl}(\hat{Q}) $ の最大値がconcurrenceの下界をなす。
• $ d=3 $ の等方的状態では、下界が $ \frac{2}{d-1}(F - \frac{1}{d}) $ となり、正確なconcurrenceと $ \sqrt{2d/(d-1)} $ の係数因子を除いて一致する。
• $ F \leq 1/d $ のとき下界はゼロとなり、分離可能な等方的状態を正しく同定する。エンタングルド状態では非ゼロとなる。
• この手法は、concurrenceを計算するために3つの密度行列要素しか必要としないため、完全なトモグラフィーを伴わずに、実験的に実用可能なエンタングルメント検出が可能である。