[論文レビュー] XFT: Extending the Digital Application of the Fourier Transform

Rafael G. Campos, J. Rico-Melgoza+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、エルミート多項式に基づくガウス求積と対角的合同変換（チープ-FFT-チープ処理に相当）を用いて、分数フーリエ変換の高速かつ閉形式の離散化であるXFTを提案する。XFTは単位円内の任意の複素数値へと分数フーリエ変換を拡張し、z = iにおける標準FFTよりも高い精度で離散フーリエ変換の計算を可能にする。

ABSTRACT

In recent years there has been a growing interest in the fractional Fourier transform driven by its great number of applications. The literature in this field follows two main routes. On the one hand the applications fields where the ordinary Fourier transform can be applied are being revisited to use this intermediate time-frequency representation of signals; and on the other hand fast algorithms for numerical computation of the fractional Fourier transform are devised. In this paper we derive a Gaussian-like quadrature of the continuous fractional Fourier transform. This quadrature is given in terms of the Hermite polynomials and their zeros. By using some asymptotic formulae we are able to solve the quadrature by a diagonal congruence transformation equivalent to a chirp-FFTchirp transformation, yielding a fast discretization of the fractional Fourier transform and its inverse in closed form. We extend the range of the fractional Fourier transform by considering arbitrary complex values inside the unitary circle and not only at the boundary. Interestingly enough, the congruence transformation evaluated at z = i, which gives the Fourier transform, improves the standard discrete Fourier transform, yielding a new method to compute a more accurate FFT.

研究の動機と目的

• より広範な応用を想定し、連続的な分数フーリエ変換の高速で数値的に安定した離散化を開発すること。
• 分数フーリエ変換の定義域を単位円の境界を越えて、単位円内に任意の複素数値を含む範囲へと拡張すること。
• z = iにおける分数変換の再解釈を通じて、新たな合同変換を用いて標準離散フーリエ変換の精度を向上させること。
• 分数フーリエ変換およびその逆変換の両者に対して、閉形式かつ計算的に効率的なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• エルミート多項式およびその零点を用いて、連続的な分数フーリエ変換のガウス型求積を導出する。
• 漸近公式を適用して、求積をチープ-FFT-チープ処理に相当する対角的合同変換に変換する。
• 得られた変換を用いて、分数フーリエ変換およびその逆変換の高速で閉形式の離散化を実現する。
• 変換の定義域を、境界上に限らず、単位円内に任意の複素数値へと拡張する。
• エルミート関数の構造とその直交性を活用して、数値的安定性と計算効率を確保する。
• 変換の性質を保ちつつ高速計算を可能にする行列合同変換を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交多項式を用いて、連続的な分数フーリエ変換を効率的かつ正確に離散化する方法は何か？
• RQ2 分数フーリエ変換の範囲を、単位円の境界を越えて、単位円内に任意の複素数値を含むように拡張可能か？
• RQ3 分数フーリエ変換をチープ-FFT-チープ変換として表現することによる計算上の利点は何か？
• RQ4 提案手法は、z = iにおける標準離散フーリエ変換の精度をどのように向上させるか？
• RQ5 エルミート多項式およびその零点は、分数フーリエ変換の安定的かつ高速な求積を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 提案手法は、チープ-FFT-チープに相当する変換を用いて、分数フーリエ変換の高速で閉形式の離散化を達成する。
• 求積はエルミート多項式およびその零点に基づくものであり、高い数値的精度を保証する。
• 本手法は、境界上に限らず、単位円内に任意の複素数値を含む範囲へと分数フーリエ変換を拡張することに成功した。
• z = iにおける変換は、標準FFTよりも高精度な離散フーリエ変換をもたらす。
• 対角的合同変換により、数値誤差を低減した効率的な計算が可能になった。
• エルミート関数の漸近公式により、反復的精錬を要せず、安定的かつ高速なアルゴリズムの導出が可能となった。