[論文レビュー] Yamabe and quasi-Yamabe solitons on Euclidean submanifolds

Bang‐Yen Chen, Sharief Deshmukh|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ソリトンベクトル場が位置ベクトル場の接成分であるユークリッド部分多様体上のヤマベおよび準ヤマベソリトンを調査する。この研究では、ユークリッド空間内の適切な超曲面におけるこのようなソリトンが、接位置場を特徴的な方向とする準アンビリカルであることが示され、μ ≠ 0 のときには、軸が原点を通る回転超曲面の開部分集合でなければならないことが判明する。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of Yamabe and quasi-Yamabe solitons on Euclidean submanifolds whose soliton fields are the tangential components of their position vector fields. Several fundamental results of such solitons were proved. In particular, we classify such Yamabe and quasi-Yamabe solitons on Euclidean hypersurfaces.

研究の動機と目的

• ソリトン場が位置ベクトル場の接成分であるユークリッド部分多様体上のヤマベおよび準ヤマベソリトンの研究を開始すること。
• 特に位置ベクトル場に関連する幾何的制約の下で、ユークリッド超曲面上のこのようなソリトンを分類すること。
• ソリトン場が位置ベクトル場から導かれる場合のソリトン条件の幾何的意味を明らかにすること。
• ソリトン構造と準アンビリカル性やトルス型ベクトル場といった内在的幾何的性質との関連を確立すること。
• ユークリッド空間内の超曲面が接位置場をソリトンベクトル場とする準ヤマベソリトンを有するための必要十分条件を特定すること。

提案手法

• メトリックのリー微分を用いて、ヤマベおよび準ヤマベソリトンをそれぞれ方程式 $\frac{1}{2}\mathcal{L}_X g = (R - \lambda)g$ および $\frac{1}{2}\mathcal{L}_X g = (R - \lambda)g + \mu X^\# \otimes X^\#$ で定義する。
• ガウスおよびヴァインガルテンの公式を用いて、部分多様体上のリーマン接続と周囲のユークリッド接続との関係を関係づける。
• ソリトン方程式と位置ベクトル場の幾何的性質から、重要な条件 $g(A_{{\bf x}^N}V, W) = (R - \lambda - 1)g(V,W) + \mu g({\bf x}^T, V)g({\bf x}^T, W)$ を導出する。
• トルス型ベクトル場（$\nabla_X v = \varphi X + \alpha(X)v$ で定義）の概念を用い、$\mathbf{x}^T$ の幾何的挙動を分析する。
• 回転超曲面の分類および円錐や球面の構造を応用して、可能なソリトン解の特徴づけを行う。
• 適切な部分多様体としての仮定（$\mathbf{x}^T$ が至る所ゼロでない）を適用して、許容可能な超曲面のクラスを制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド部分多様体が、位置ベクトル場の接成分をソリトン場とするヤマベソリトンを有するための条件は何か？
• RQ2 $\mathbb{E}^{n+1}$ 内の超曲面が $\mu \neq 0$ かつソリトン場 $\mathbf{x}^T$ を持つ準ヤマベソリトンを有するためには、どのような幾何的構造を備えなければならないか？
• RQ3 ソリトン方程式の文脈において、位置ベクトル場の接成分は、形状作用素およびスカラー曲率とどのように関係するか？
• RQ4 ソリトン場 $\mathbf{x}^T$ がトルス型ベクトル場である可能性はあり、その場合、超曲面の幾何にどのような意味を持つのか？
• RQ5 $\mu \neq 0$ のとき、$\mathbb{E}^{n+1}$ 内のどのクラスの超曲面が $\mathbf{x}^T$ をソリトン場とする準ヤマベソリトンを有するか？

主な発見

• ユークリッド空間 $\mathbb{E}^{n+1}$ 内の超曲面 $M$ が、ソリトン場 $\mathbf{x}^T$ および $\mu \neq 0$ を持つ準ヤマベソリトンを有するための必要十分条件は、$M$ が $\mathbf{x}^T$ を特徴的な方向とする準アンビリカル超曲面であることである。
• 準ヤマベソリトン条件のもとで $\mu \neq 0$ のとき、位置ベクトル場の接成分 $\mathbf{x}^T$ は $M$ 上のトルス型ベクトル場である。
• もし $M$ が適切な超曲面であり $\mu \neq 0$ ならば、$M$ は原点を通る回転軸を持つ回転超曲面の開部分集合でなければならない。
• ソリトン条件により、形状作用素 $A_{{\bf x}^N}$ が、$\mathbf{x}^T$ に直交する部分空間上で恒等写像のスカラー倍として作用し、$\mathbf{x}^T$ の方向では別個の作用を示す、特定の形をとることが導かれる。
• スカラー曲率 $R$ とソリトン定数 $\lambda$ は、方程式 $g(A_{{\bf x}^N}V, W) = (R - \lambda - 1)g(V,W) + \mu g({\bf x}^T, V)g({\bf x}^T, W)$ を通じて超曲面の幾何と関連づけられる。
• 分類結果から、開部分集合としての超球面、球面円筒、球面円錐は、$\mu \neq 0$ の場合にこのような準ヤマベソリトンを有することができず、仮定によって除外されることが示唆される。