[論文レビュー] Yang-Mills-Higgs theory for symplectic fibrations

Ignasi Mundet i Riera|ArXiv.org|Dec 18, 1999

Geometry and complex manifolds被引用数 44

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティックファイブレーション上のヤン・ミルズ・ヒッグス理論の統一的枠組みを導入し、バキューム方程式と擬正則曲線理論の両方を一般化する。ハッチン・コバヤシ対応を確立し、ソボレフ完備化を用いて滑らかなモジュライ空間を構成し、グロモフのものに類似したコンパクト化を提供し、ハミルトニアン $S^1$-作用をもつシンプレクティック多様体に対する不変量を定義する。

ABSTRACT

Our aim in this work is to study a system of equations which generalises at the same time the vortex equations of Yang-Mills-Higgs theory and the holomorphicity equation in Gromov theory of pseudoholomorphic curves. We extend some results and definitions from both theories to a common setting. We introduce a functional generalising Yang-Mills-Higgs functional, whose minima coincide with the solutions to our equations. We prove a Hitchin-Kobayashi correspondence allowing to study the solutions of the equations in the Kaehler case. We give a structure of smooth manifold to the set of (gauge equivalence classes of) solutions to (a perturbation of) the equations (the so-called moduli space). We give a compactification of the moduli space, generalising Gromov's compactification of the moduli of holomorphic curves. Finally, we use the moduli space to define (under certain conditions) invariants of compact symplectic manifolds with a Hamiltonian almost free action of S^1. These invariants generalise Gromov-Witten invariants. This is the author's Ph.D. Thesis. A chapter of it is contained in the paper math.DG/9901076. After submitting his thesis in April 1999, the author knew that K. Cieliebak, A. R. Gaio and D. Salamon had also arrived (from a different point of view) at the same equations, and had developed a very similar programme (see math.SG/9909122).

研究の動機と目的

• シンプレクティックファイブレーション上でのヤン・ミルズ・ヒッグス理論と擬正則曲線理論を、共通の枠組みに一般化すること。
• バキュームおよび正則性条件を統合する方程式系の解を最小化するヤン・ミルズ・ヒッグス汎関数を定義すること。
• ケーラー設定における安定なペアに対して、ハッチン・コバヤシ対応を確立すること。
• ゲージ理論的手法とソボレフ完備化を用いて、解のゲージ同値類のモジュライ空間を滑らかな多様体として構成すること。
• 擬正則曲線のグロモフのコンパクト化に類似した、モジュライ空間のコンパクト化を提供すること。

提案手法

• $K$-主バンドル $E$ 上の接続 $A$ と、関連ファイブレーション $\mathcal{F} = E \times_K F$ の断面 $\Phi$ を結合する方程式系を導入する。
• 解の空間 $\mathcal{A} \times \mathcal{S}$ 上にヤン・ミルズ・ヒッグス汎関数を定義し、その極小点が方程式の解に対応することを示す。
• 解がペア $(E, \Phi)$ の安定性条件と関連することを、ハッチン・コバヤシ対応を用いて示す。
• ゲージ同値類のモジュライ空間に滑らかな多様体構造を与えるために、ソボレフ完備化を用いる。
• 正則性および特異点の除去を含むグロモフ型の技術を適用し、モジュライ空間のコンパクト化を構成する。
• $S^1$-作用下でのくちばし $\sigma$-THC（ねじれ正則曲線）のモジュライを用いて、不変量 $\Phi$ および $\overline{\Phi}$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン群作用をもつシンプレクティックファイブレーションに、ヤン・ミルズ・ヒッグス理論を拡張できるか？
• RQ2 この一般化された設定において、ペア $(E, \Phi)$ に対してハッチン・コバヤシ対応は成立するか？
• RQ3 ゲージ理論的手法により、解のモジュライ空間に滑らかな多様体構造を与えることができるか？
• RQ4 擬正則曲線のグロモフのコンパクト化に類似した、モジュライ空間のコンパクト化は存在するか？
• RQ5 このモジュライ空間を用いて、ハミルトニアン $S^1$-作用をもつコンパクトなシンプレクティック多様体に対して不変量を定義できるか？

主な発見

• ヤン・ミルズ・ヒッグス方程式および擬正則曲線方程式の両方を一般化する、新しい方程式系が導入された。
• ヤン・ミルズ・ヒッグス汎関数が $\mathcal{A} \times \mathcal{S}$ 上に定義され、その臨界点が方程式の解と一致することが示された。
• ハッチン・コバヤシ対応が証明され、解の存在がペア $(E, \Phi)$ の安定性条件と関連することが示された。
• ソボレフ完備化と横断性を用いて、半自由な $S^1$-作用下でモジュライ空間 $\mathcal{M}_{\sigma}^{F,S^1}(B,c)$ が滑らかな多様体であることが示された。
• 正則性、特異点の除去、および等変なグロモフ・シュワーツ補題を用いて、モジュライ空間のコンパクト化が構成された。
• ハミルトニアン $S^1$-作用をもつシンプレクティック多様体に対して、くちばし $\sigma$-THC のモジュライを用いて不変量 $\Phi$ および $\overline{\Phi}$ が定義された。