[論文レビュー] Yangian Double and Rational R-matrix

S. Khoroshkin, В.Н. Толстой|ArXiv.org|Jun 29, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、ヤンニアン $Y(g)$ の量子二重 ${\cal D}Y(g)$ の三角分解を提示し、普遍 R-行列の明示的因数分解表現を可能にする。R-行列のヘイゼンベルク成分 $R_H$ の明示的公式を導出し、これは有限次元表現の最高重み多項式上の双線形形式として、ガンマ関数を用いて表現される。主な結果は、$Y(sl_2)$ に対しては、$Γ$-関数を用いた閉形式での R-行列のキャラクター表現が得られ、一般の $g$ に対しても部分的に成立し、準古典的極限と整合することが確認された。

ABSTRACT

Studying the algebraic structure of the double ${\cal D}Y(g)$ of the yangian $Y(g)$ we present the triangular decomposition of ${\cal D}Y(g)$ and a factorization for the canonical pairing of the yangian with its dual inside ${\cal D}Y(g)$. As a consequence we obtain an explicit formula for the universal R-matrix $R$ of ${\cal D}Y(g)$ and demonstrate how it works in evaluation representations of $Y(sl_2)$. We interprete one-dimensional factor arising in concrete representations of $R$ as bilinear form on highest weight polynomials of irreducible representations of $Y(g)$ and express this form in terms of {\it gamma-functions}.

研究の動機と目的

• ヤンニアンの表現理論における空白を埋めるために、明示的な普遍 R-行列の構成。
• 量子二重 ${\cal D}Y(g)$ の三角分解を確立し、ガウス分解に類似した形にすること。
• R-行列におけるスカラー位相因子を、有限次元 $Y(g)$-表現の最高重み多項式上の乗法的双線形形式として解釈すること。
• この双線形形式をガンマ関数を用いて表現し、準古典的 $\frac{\langle \lambda,\mu\rangle}{a-b}$ 極限を一般化すること。
• 評価表現における $Y(sl_2)$ に対して公式を検証し、一般の $Y(g)$ に拡張すること。

提案手法

• ${\cal D}Y(g)$ の三角分解を導出し、正部分、負部分、およびカーマン型ヘイゼンベルク的副代数に分離すること。
• ${\cal D}Y(g)$ 内部で、$Y(g)$ とその双対の間の標準的ホップペアリングを構成し、三角分解を用いること。
• 普遍 R-行列を $R = R_H \cdot R_+ \cdot R_-$ と因数分解し、$R_H$ がヘイゼンベルク副代数に作用することを示すこと。
• $R_H$ を、カーマン副代数上の不変スカラー積の $q$-アナログを用い、$q$ をシフト作用素 $T:f(x)\mapsto f(x+1)$ に置き換えること。
• 最高重みベクトル上の $R$ のキャラクターを、最高重み多項式上での $K_{i,+}(u)$ と $K_{j,-}(x)$ の作用を通じて計算すること。
• $q$-アナログのカーマン行列およびその逆行列を用い、ガンマ関数の比の積として双線形形式の明示的公式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子二重 ${\cal D}Y(g)$ の普遍 R-行列は、三角分解のような代数的構造を用いて明示的に因数分解可能か？
• RQ2 R-行列におけるスカラー位相因子は、特に評価モジュールにおいて、$Y(g)$ の表現理論とどのように関係しているか？
• RQ3 R-行列作用から生じる最高重み多項式上の双線形形式の正確な関数的形は何か？
• RQ4 $\Gamma$-関数による R-行列キャラクターの表現は、準古典的 $\frac{\langle \lambda,\mu\rangle}{a-b}$ 極限に還元されるか？
• RQ5 $Y(sl_2)$ の基本的表現に対して R-行列キャラクターを明示的に計算でき、$Y(g)$ に一般化可能か？

主な発見

• ${\cal D}Y(g)$ の普遍 R-行列は、$R = R_H \cdot R_+ \cdot R_-$ の因数分解形をとる。$R_H$ がスカラー位相因子を支配する。
• 最高重み表現上の R-行列のキャラクターは、最高重み多項式上の乗法的双線形形式であり、ガンマ関数の比の積として明示的に与えられる。
• $Y(sl_2)$ に対して、基本的表現 $\omega(a)$ と $\omega(b)$ 間の R-行列キャラクターは $\frac{\Gamma\left(\frac{a-b}{2}+\frac{1}{2}\right)^2}{\Gamma\left(\frac{a-b}{2}\right)\Gamma\left(\frac{a-b}{2}+1\right)}$ に一致し、既知の結果と整合する。
• 一般の $\omega_i(a)$ と $\omega_j(b)$ 間のキャラクターの公式は $\prod_k \left( \frac{\Gamma\left(\frac{a-b}{l(g)} + \frac{l(g)-k}{2l(g)} \right) \Gamma\left(\frac{a-b}{l(g)} + \frac{l(g)-k + (\alpha_j,\alpha_j) - (\alpha_i,\alpha_i)}{2l(g)} \right)}{\Gamma\left(\frac{a-b}{l(g)} + \frac{l(g)-k - (\alpha_i,\alpha_i)}{2l(g)} \right) \Gamma\left(\frac{a-b}{l(g)} + \frac{l(g)-k + (\alpha_j,\alpha_j)}{2l(g)} \right)} \right)^{C_{i,j}^k}$ である。
• ガンマ関数表現の準古典的極限は、期待される $\frac{\langle \lambda,\mu\rangle}{a-b}$ 構造を再現し、一貫性が確認された。
• 公式は、$Y(sl_2)$ での評価モジュールのテンソル積分解と整合しており、検証された。