[論文レビュー] Yet Another Graph Partitioning Problem is NP-Hard

Ryan H. Lewis|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator問題がNP困難であることを証明しており、部分グラフ内の頂点と辺の合計サイズに基づいてコンポーネントをバランスさせる、新たなグラフ分割制約を導入している。既知のNP困難な3正則$α$-Balanced-Vertex-Separator問題からの多対一多項式時間還元を用いて、3正則性の下で二つのバランス基準が同等であることを示し、これまで無視されてきたこの変種の計算複雑性を確立している。

ABSTRACT

Recently a large number of graph separator problems have been proven to be extsc{NP-Hard}. Amazingly we have found that $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator, an important variant, has been overlooked. In this work ``Yet Another Graph Partitioning Problem is NP-Hard" we present the surprising result that $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator is $NP$-Hard. This is despite the fact that the constraints of our new problem are harder to satisfy than the original problem.

研究の動機と目的

• コンポーネントのバランスが頂点と辺の合計サイズによって定義される、グラフ分割の変種である$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator問題の計算複雑性を確立すること。
• 標準の$α$-Balanced-Vertex-Separator問題よりも制約がより厳しいにもかかわらず、この問題がNP困難であることを示すこと。
• 既知のNP困難な3正則$α$-Balanced-Vertex-Separator問題から、新しい$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator問題への形式的な還元を提供すること。
• 3正則グラフの制約下で、部分グラフベースの変種におけるバランス条件が、標準の頂点数バランス条件と同等であることを示すこと。

提案手法

• 任意の3正則グラフを、すべての頂点分離集合が出力ノードに制限される3正則グラフに変換する、修正されたローカル置換ギャジェット（図1b）を構築する。
• 3正則$α$-Balanced-Vertex-Separator問題から$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator問題への多項式時間多対一還元を用いる。
• 3正則グラフにおいて、頂点次数、辺数、境界頂点を関連付けるために、グラフ理論の第一定理を活用し、恒等式$3V_i = 2E_i + E_i^I$を用いる。
• 補題1を適用して、$E_i = \frac{3}{2}V_i - \frac{1}{2}\beta_i$を部分グラフバランス制約に代入し、$V_i$と$\beta_i$を含む形に条件を変換する。
• 補題2（$\beta_1 + \beta_2 = 3I$ および $I \leq \beta_i \leq 2I$）を用いて境界頂点の寄与を束縛し、二つのバランス基準を結ぶ不等式を導出する。
• 3正則性の下で、$\alpha$-Subgraph-Balancedと$\alpha$-Balanced条件の間で双方向の同等性を証明し、片方の解がもう片方の解を示唆することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点数と辺数の合計に基づいてバランスを取る$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator問題は、計算的に困難であるか？
• RQ2 標準の頂点数バランスと比較して、$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separatorにおける部分グラフベースのバランスの stricter な制約が、NP困難性を保持するか？
• RQ3 $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator問題を、既知のNP困難な$α$-Balanced-Vertex-Separator問題へ多項式時間で還元できるか？
• RQ4 3正則グラフの制約下で、$α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separatorと$α$-Balanced-Vertex-Separatorのバランス条件は同等か？

主な発見

• $α$-Subgraph-Balanced-Vertex-Separator問題は、3正則$α$-Balanced-Vertex-Separator問題からの多項式時間多対一還元によってNP困難であることが証明された。
• 部分グラフ変種におけるバランス条件$\max_i(|V_i| + |E_i|) + |I| \leq \alpha(|V| + |E|)$は、3正則性の下で、標準の$\max_i(|V_i|) \leq \alpha|V|$条件と同等である。
• 3正則グラフでは、恒等式$3V_i = 2E_i + E_i^I$が成り立ち、これにより辺ベースの制約を頂点数に依存する項に変換できる。
• 境界頂点数は$\beta_1 + \beta_2 = 3|I|$および$|I| \leq \beta_i \leq 2|I|$を満たし、これは還元における部分グラフサイズの束縛に不可欠である。
• 還元は意思決定問題のYes/Noの答えを保持しており、片方の問題を解くことでもう片方も多項式時間で解けることが確認された。
• この結果により、これまで無視されてきたグラフ分割の変種の複雑性が解明され、分離子問題におけるNP困難性の境界が強化された。