[論文レビュー] Yet another notion of irregularity through small ball estimates

Marco Romito, Leonardo Tolomeo|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、経路の小球のサイズを局所測度を用いて制御することに基づく、パス不規則性の新概念である『小球推定（SBE）』を導入する。SBEが局所測度のBesov正則性を示すことを確立し、従来のノイズによる正則化結果を一般Besov空間へ拡張する。また、SBEが単純な局所非決定性条件を満たす確率過程（特に$ H < 1/d $の分数 Browm運動を含む）において成り立つことを示し、Besov空間における特異なドリフトをもつSDEのパスワイズ解法を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a new notion of irregularity of paths, in terms of control of growth of the size of small balls by means of the occupation measure of the path. This notion ensures Besov regularity of the occupation measure and thus extends the analysis of Catellier and Gubinelli (2016) to general Besov spaces. On stochastic processes this notion is granted by suitable properties of local non-determinism.

研究の動機と目的

• パスの不規則性を表す新しい概念を定義し、$(\rho,\gamma)$-不規則性のような既存の枠組みを一般化すること。
• SBE正則性が局所測度のBesov正則性を示すことを確立し、[CG16]のFourier-Lebesgue枠組みからBesov空間へ結果を拡張すること。
• SBEが双リプシッツ再パrametrizationに関して不変であり、正則な摂動に対して安定であることを示すこと。
• SBEが単純な局所非決定性条件を満たす確率過程において成り立つことを証明し、特に分数 Browm運動に対して示すこと。
• SBEに基づく局所測度の正則性を活用して、Besov空間における特異なドリフトをもつSDEのパスワイズ解析を可能にすること。

提案手法

• パスの局所測度を用いて、小球の測度を制御するSBE条​​件を定義する。
• 最大関数推定と補間技法を用いて、SBEがBesov空間における局所測度の正則性を示すことを証明する。
• このような写像による測度の歪みを制御することで、SBEが双リプシッツ再パラメータ化に関して不変であることを確立する。
• $C^1$摂動に対するSBEの安定性を、ノルム推定と測度比較を用いて示す。
• Malliavin微積分とモーメント推定を用いて、確率過程の増分の密度に対する境界を導出する。
• これらの境界を応用し、分数 Browm運動およびそれによって駆動されるSDEの解に対してSBE正則性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fourier-Lebesgue枠組み[CG16]を超えて、局所測度のBesov正則性を保証するような、不規則性の新しい概念を定義できるか？
• RQ2 SBE条​​件は双リプシッツ再パラメータ化に関して不変であり、正則な摂動に対して安定か？
• RQ3 増分の分布に関してどのような条件下で確率過程がSBE条​​件を満たすか？
• RQ4 SBE正則性はどのようにしてBesov空間における特異なドリフトをもつSDEのパスワイズ解法を可能にするか？
• RQ5 分数 Browm運動によって駆動されるSDEの解の局所測度の時間正則性はいかなるものか？

主な発見

• SBE条​​件は局所測度のBesov正則性と同値であり、ノイズによる正則化結果を一般Besov空間へ拡張可能である。
• SBEは双リプシッツ再パラメータ化に関して不変であり、$C^1$摂動に対して安定であり、その整合性が保証される。
• Hurst指数$H < 1/d$の分数 Browm運動に対して、局所測度は$C^{p\text{-var}}([a,T];\textsc{S\kern-1.19995pt\raise-1.29167pt\hbox{B}\kern-1.19995pt\hbox{E}}}^{\alpha,2}_{2})$に属し、$\alpha < \frac{1}{2H} - \frac{d}{2}$および$p > 1 - \frac{1}{2}H(d + 2\alpha)$を満たす。
• $d \leq 3$かつ$H \in (\frac{1}{4},1)$で$H < \frac{1}{d}$のとき、fBmによって駆動されるSDEの解の局所測度は、$p > 1 - \frac{1}{2}H(d + 2\alpha)$に対して$V^p([a,T];\textsc{S\kern-1.19995pt\raise-1.29167pt\hbox{B}\kern-1.19995pt\hbox{E}}}^{\alpha,2}_{2})$に属する。
• SBE条​​件は局所非決定性によって保証され、ガウス過程では増分の分散に関する単純な条件に帰着する。
• この枠組みにより、適切な可積分性および正則性条件のもとで、Corollary 7.1で$f \in C^{r_2-\text{var}}(B^{\alpha_2}_{p_2,q_2})$のSDEに対してパスワイズの存在および一意性が保証される。