[論文レビュー] Yet More Smooth Mapping Spaces and Their Smoothly Local Properties

Andrew Stacey|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、写像空間上の滑らか manifold 構造の構成を一般化するための「滑らかに局所的な性質」の概念を導入する。写像空間 $C^\infty(S, M)$ が、$M$ が有限次元多様体で、$S$ がやや強い解析的条件を満たす Frölicher 空間である場合でも、滑らかに局所的な構造が保たれるように、局所構造（チャートや局所加法など）が終域空間上で滑らかに変化することを保証することで、その構造が滑らか多様体として継承されることを確立する。主な結果は、このような写像空間がその運動論的接空間を局所モデルとして滑らか多様体であることを示しており、元の写像が正則であれば、写像空間間の誘導写像も正則であることを示している。

ABSTRACT

Motivated by the definition of the smooth manifold structure on a suitable mapping space, we consider the general problem of how to transfer local properties from a smooth space to an associated mapping space. This leads to the notion of smoothly local properties. In realising the definition of a local property at a particular point it may be that there are choices that need to be made. To say that the local property is smoothly local is to say that those choices can be made smoothly dependent on the point. In particular, that a manifold has charts is a local property. A local addition is the structure needed to say that there is a way to choose a chart about each point so that it varies smoothly with that point. To be able to extend these ideas beyond that of the local additivity of manifolds we work in a category of generalised smooth spaces. We are thus are able to consider more general mapping spaces than just those arising from the maps from one smooth manifold to another and thus able to generalise the standard result on when this space of maps is again a smooth manifold. As applications of this generalisation we show that the mapping spaces involving the various figure 8s from String Topology are manifolds, and that they embed as submanifolds with tubular neighbourhoods in the corresponding loop spaces. We also show that applying the mapping space functor to a regular map of manifolds produces a regular map on the mapping spaces.

研究の動機と目的

• 古典的な有限次元多様体を超えて、写像空間上の滑らか多様体構造の構成を一般化すること。
• 空間 $X$ 上の局所構造が $X$ 上を滑らかに変化するように選べるというアイデアを形式化し、『滑らかに局所的な性質』という概念を導入すること。
• $M$ と $N$ が有限次元多様体で $N$ がコンパクトであるとき、$C^\infty(N,M)$ が滑らか多様体であるという標準的な結果を拡張すること。
• ストリングトポロジーにおける図8グラフを含む写像空間が、ループ空間内にチューブ型近傍を持つ滑らか多様体であることを示すこと。
• 写像空間関手が、多様体間の滑らかな写像の正則性を保存することを証明すること。

提案手法

• 空間 $X$ 上の局所構造が $X$ 上を滑らかにパラメータ化可能であるような性質を『滑らかに局所的な性質』として定義し、局所加法の概念を一般化する。
• 一般化された滑らか空間（特に Frölicher 空間）の圏で作業することで、多様体を超えた広範な適用可能性を確保する。
• 関数解析的位相と Fermat 空間を用いて、写像空間上の接構造を定義・分析する。
• 適切な条件下で、運動論的接空間 $T C^\infty(S,X)$ が自然に $C^\infty(S, T X)$ に同型であることを確立する。
• 空間 $X$ が滑らかに局所的運動論的であるならば、$C^\infty(S,X)$ も同様の性質を備え、多様体構造の構成が可能であることを証明する。
• 理論を応用して、$M$ が有限次元多様体で、$S$ が $(-1,1)$ 内にコンパクトな台を持つ非自明な滑らかな関数をもつ場合、$C^\infty(S,M)$ が滑らか多様体であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された滑らか空間 $X$ 上の局所的性質が、写像空間 $C^\infty(S,X)$ に滑らかに拡張される条件は何か？
• RQ2 一般化された滑らか空間 $X$ と $M$ 間の滑らかな写像空間 $C^\infty(S,M)$ が、自身で滑らか多様体である条件は何か？
• RQ3 一般化された滑らか空間の圏において、局所加法の概念をどのように一般化できるか？
• RQ4 写像空間 $C^\infty(S,X)$ の接空間が、自然に $C^\infty(S, T X)$ に同型であるための条件は何か？
• RQ5 写像空間関手は、多様体間の滑らかな写像の正則性を保存するか？

主な発見

• $M$ が有限次元滑らか多様体で、$S$ が $(-1,1)$ 内にコンパクトな台を持つ非自明な滑らかな関数をもつ Frölicher 空間であるとき、写像空間 $C^\infty(S,M)$ は滑らか多様体であり、その多様体構造はその運動論的接空間を局所モデルとして持つ。
• $M$ が有限次元多様体で、$S$ が滑らかに $\mathfrak{T}_{\text{Frob}}$-コンパクトであるとき、$C^\infty(S,M)$ は滑らかに局所的運動論的である。これにより、接構造の整合性が保証される。
• $X$ が滑らかに局所的運動論的空間であるとき、写像空間 $T C^\infty(S,X)$ は自然に $C^\infty(S, T X)$ に同型である。これは多様体構造の構成にとって不可欠である。
• $M$ がストリングトポロジーにおける図8グラフを含む場合、写像空間 $C^\infty(S,M)$ は対応するループ空間内に部分多様体として埋め込まれ、チューブ型近傍を持つ。
• $f: M \to N$ が有限次元多様体間の正則な滑らかな写像であるならば、誘導写像 $C^\infty(S,f): C^\infty(S,M) \to C^\infty(S,N)$ も正則である。
• 局所加法による $C^\infty(N,M)$ 上のチャートの構成は、$S$ が任意の Frölicher 空間である限り、$M$ が滑らかに局所的構造を持つ限り、一般化可能である。