[論文レビュー] Yetter-Drinfeld modules over bosonizations of dually paired Hopf algebras

I. Heckenberger, Henriette Schneider|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双対的にペairedなホップ代数のボソン化における、双曲的反作用を持つホップ代数 H 上の有理的ヤッター＝ドリンフェルド加群の間で、ブレード付きモノイダル同型を確立する。この同型は、ニコルズ代数における反射の存在を概念的に証明する自然な圏的枠組みを提供し、反射作用素が双対ペアのボソン化からこの同型を介して生じることを示し、ウェイル群族構造の新たな導出をもたらす。

ABSTRACT

Let $(R^{\vee},R)$ be a dual pair of Hopf algebras in the category of Yetter-Drinfeld modules over a Hopf algebra $H$ with bijective antipode. We show that there is a braided monoidal isomorphism between rational left Yetter-Drinfeld modules over the bosonizations of $R$ and of $R^{\vee}$, respectively. As an application of this very general category isomorphism we obtain a natural proof of the existence of reflections of Nichols algebras of semisimple Yetter-Drinfeld modules over $H$. Key words: Hopf algebras, quantum groups, Weyl groupoid

研究の動機と目的

• ホップ代数 H 上のヤッター＝ドリンフェルド圏における双対ペアのホップ代数のボソン化に関する有理的左ヤッター＝ドリンフェルド加群の間で、ブレード付きモノイダル同型を確立すること。
• 半単純ヤッター＝ドリンフェルド加群のニコルズ代数における反射作用素の存在について、概念的で自然な証明を提供すること。
• 反射作用が、基礎となるホップ代数の双対性から生じるブレード付きモノイダル関手に対応することを示すこと。
• 双対ペアのボソン化が、元の加群と反射された加群のニコルズ代数の間で同型を誘導することを示すこと。
• カテゴリカル同型を用いてニコルズ代数のウェイル群族構造を再導出し、その構成に対する新たな視点を提供すること。

提案手法

• ホップ代数 R と R∨ がホップ代数 H 上のヤッター＝ドリンフェルド圏において双対的であることを利用して、右および左の相対ヤッター＝ドリンフェルド加群の間でモノイダル同型を構成する。
• この同型が、相対ヤッター＝ドリンフェルド加群の圏のドリンフェルド中心の間でブレード付きモノイダル同値を誘導することを証明する。
• この同型が、ボソン化 R#H および R∨#H に関する有理的ヤッター＝ドリンフェルド加群の部分圏を保存することを示す。
• 関手 (Ω, ω) を、R#H および R∨#H に関する有理的左ヤッター＝ドリンフェルド加群の圏間のブレード付きモノイダル同型として定義する。
• この同型を用いて、ニコルズ代数 B(M) の余不変代数 K_i^M と、ボソン化を介した反射された加群のニコルズ代数との関係を確立する。
• 同型を適用して、H 上のヤッター＝ドリンフェルド圏におけるブレード付きホップ代数として、Ω(K_i^M) # B(M_i*) ≅ B(R_i(M)) を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数 H 上のヤッター＝ドリンフェルド圏における双対ペアのホップ代数のボソン化に関する有理的ヤッター＝ドリンフェルド加群の圏の間で、ブレード付きモノイダル同型が存在するか？
• RQ2 この同型が、半単純ヤッター＝ドリンフェルド加群のニコルズ代数における反射作用素の存在について、自然な説明を提供できるか？
• RQ3 半単純ヤッター＝ドリンフェルド加群の反射が、ボソン化構成における基礎となるホップ代数の双対性とどのように関係しているか？
• RQ4 同型 (Ω, ω) が、余不変代数およびそのボソン化に適用された際にホップ代数構造を保存するか？
• RQ5 カテゴリカル同型を用いて、ニコルズ代数のウェイル群族構造を再構成できるか？

主な発見

• ボソン化 R#H および R∨#H に関する有理的左ヤッター＝ドリンフェルド加群の圏の間で、ブレード付きモノイダル同型 (Ω, ω) が存在する。
• 同型 (Ω, ω) はホップ代数をホップ代数にマッピングし、任意の X に対して Ω(X) = X を H-加群として満たす。
• ニコルズ代数 B(M) の加群 M_i に関する余不変代数 K_i^M は、R#H 上の有理的ヤッター＝ドリンフェルド加群の圏におけるホップ代数である。
• 同型は、H 上のヤッター＝ドリンフェルド圏におけるブレード付きホップ代数として、Ω(K_i^M) # B(M_i*) ≅ B(R_i(M)) を満たす。
• 反射作用素 R_i(M) は、この同型 (Ω, ω) を余不変代数とその双対に適用することによって自然に生じ、ウェイル群族構造の新たな導出を可能にする。
• この構成により、R_i^2(M) ≅ M であり、一般化されたカルタン行列が反射のもとで保存されること、すなわちコロナリー8.11で示されたことが確認される。