[論文レビュー] Yetter-Drinfeld modules over weak Hopf algebras and the center construction

S. Caenepeel, Dingguo Wang+1 more|ArXiv.org|Sep 30, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、弱ホップ代数が可換環上にあり、かつ有限生成かつ射影的である場合、弱ホップ代数上のイータ-ドリンフェルト加群が、モジュール圏の中心およびドリンフェルト双対の加群の圏と、braided monoidal categoryとして同型であることを確立している。双対性とエンティンギング構造を用いて、古典的結果を弱双代数へと拡張し、イータ-ドリンフェルト加群が弱ドイホップ加群および弱エンティンギング加群であることを示し、有限生成射影的の場合の双対性を証明している。

ABSTRACT

We introduce Yetter-Drinfeld modules over a weak Hopf algebra $H$, and show that the category of Yetter-Drinfeld modules is isomorphic to the center of the category of $H$-modules. The categories of left-left, left-right, right-left and right-right Yetter-Drinfeld modules are isomorphic as braided monoidal categories. Yetter-Drinfeld modules can be viewed as weak Doi-Hopf modules, and, a fortiori, as weak entwined modules. If $H$ is finitely generated and projective, then we introduce the Drinfeld double using duality results between entwining structures and smash product structures, and show that the category of Yetter-Drinfeld modules is isomorphic to the category of modules over the Drinfeld double.

研究の動機と目的

• 古典的ホップ代数から弱ホップ代数へのイータ-ドリンフェルト加群理論の一般化を図ること。
• H が弱ホップ代数であるとき、左-左、左-右、右-左、右-右の4種類のイータ-ドリンフェルト加群の圏が、braided monoidal categoryとして同型であることを示すこと。
• 弱ホップ代数上のイータ-ドリンフェルト加群が弱ドイホップ加群および弱エンティンギング加群であることを確立し、ドリンフェルト双対の新たな構成を可能にする。
• 弱ホップ代数上の有限生成射射的イータ-ドリンフェルト加群の圏が双対構造を備えることを証明すること。

提案手法

• 弱中心構成を用いて、弱双代数 H 上のモジュール圏の弱中心とイータ-ドリンフェルト加群の圏との同型を示すこと。
• エンティンギング構造とスモッシュ積構造の間の双対性結果を応用し、H とその双対 H* の弱スモッシュ積としてドリンフェルト双対を定義すること。
• 構成されたドリンフェルト双対が、[1,16] のドリンフェルト双対と同型であり、[17] のそれと反同型であることを、構造的同型を用いて証明すること。
• H がそのターゲット空間 H_t 上のバイアージェイドロイド構造を持つことを利用して、イータ-ドリンフェルト加群をバイアージェイドロイド枠組みで再解釈し、標準的定義と同等であることを示すこと。
• モノイド圏 ({}_{H}\mathcal{M}, \otimes_{t}, H_{t}) と ({}_{H}\mathcal{M}, \otimes_{H_{t}}, H_{t}) の間の同型を活用し、それらの弱左中心が等しく、従って対応するイータ-ドリンフェルト加群の圏も等しいことを示すこと。
• 標準写像 can: H⊗H → H⊗_{H_t}H を用いて、バイアージェイドロイド設定におけるイータ-ドリンフェルト適合条件の検証を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ホップ代数上の左-左、左-右、右-左、右-右のイータ-ドリンフェルト加群の圏は、braided monoidal equivalent としてどのように関係しているか？
• RQ2 エンティンギング構造とスモッシュ積構造の間の双対性を用いて、有限生成かつ射影的弱ホップ代数のドリンフェルト双対を再構成できるか？
• RQ3 弱ホップ代数上のイータ-ドリンフェルト加群は、弱ドイホップ加群または弱エンティンギング加群と同値か？
• RQ4 弱ホップ代数上の有限生成射影的イータ-ドリンフェルト加群の圏は双対構造を備えるか？
• RQ5 弱双代数の中心構成は、イータ-ドリンフェルト加群の圏とどのように関係しているか？

主な発見

• 弱ホップ代数上の左-左、左-右、右-左、右-右のイータ-ドリンフェルト加群の圏は、braided monoidal categoryとして同型である。
• H-モジュール圏の弱中心は、H 上のイータ-ドリンフェルト加群の圏と同型であり、H が弱ホップ代数であるとき、中心に一致する。
• 弱ホップ代数上のイータ-ドリンフェルト加群は、Böhm らが定義した弱ドイホップ加群および弱エンティンギング加群である。
• 有限生成かつ射影的弱ホップ代数 H のドリンフェルト双対は、弱スモッシュ積 H#H* と同型であり、[1,16] のドリンフェルト双対と一致し、[17] のそれと反同型である。
• 弱ホップ代数上の有限生成射影的イータ-ドリンフェルト加群の圏は双対構造を備えており、有限次元ホップ代数の性質を一般化している。
• H がそのターゲット空間 H_t 上にバイアージェイドロイド構造を持つことにより、H 上のイータ-ドリンフェルト加群は H_t-バイアージェイドロイド上のイータ-ドリンフェルト加群として再定式化可能であり、それらの圏は同値である。