[論文レビュー] Yetter-Drinfeld modules under cocycle twists

Georgia Benkart, Mariana Pereira+1 more|ArXiv.org|Aug 11, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Radfordの構成とMajidの同値性を用いて、有限次元の指向的ホップ代数 $H$ とそのコサイクル捩り $H^\sigma$ の間で、単純なYetter-Drinfeld $H$-加群と $H^\sigma$-加群の明示的な対応関係を確立する。主な結果は、Drinfeld双対 $D(H)$ と $D(H^\sigma)$ の加群の圏が同値であることを示したことである。この同値性は、制限付き二パラメータ量子群 $\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ に対して明示的に示され、Singular::Pluralを用いたグレブナー基底計算により次元公式が導出された。

ABSTRACT

We give an explicit formula for the correspondence between simple Yetter-Drinfeld modules for certain finite-dimensional pointed Hopf algebras $H$ and those for cocycle twists $H^σ$ of $H$. This implies an equivalence between modules for their Drinfeld doubles. To illustrate our results, we consider the restricted two-parameter quantum groups ${\mathfrak{u}}_{r,s}({\mathfrak{sl}}_n)$ under conditions on the parameters guaranteeing that ${\mathfrak{u}}_{r,s}({\mathfrak{sl}}_n)$ is a Drinfeld double of its Borel subalgebra. We determine explicit correspondences between ${\mathfrak{u}}_{r,s}({\mathfrak{sl}}_n)$-modules for different values of $r$ and $s$ and provide examples where no such correspondence can exist. Our examples were obtained via the computer algebra system {\sc Singular::Plural}.

研究の動機と目的

• 指向的ホップ代数 $H$ とそのコサイクル捩り $H^\sigma$ の単純Yetter-Drinfeld加群の間の明示的対応関係を確立すること。
• Radfordの単純加群の構成をコサイクル捩りホップ代数へ拡張すること。
• Drinfeld双対 $D(H)$ と $D(H^\sigma)$ の加群圏が、この対応関係を通じて同値であることを示すこと。
• コサイクル捩り同値性を用いて、制限付き二パラメータ量子群 $\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ の表現理論を分析すること。
• $\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ がDrinfeld双対であるようなパラメータ条件下で、その単純加群の明示的次元公式を提供すること。

提案手法

• MajidおよびOecklによる、$H$ と $H^\sigma$ のYetter-Drinfeld加群の圏同値性の利用。
• Radfordの構成を用いて、単純Yetter-Drinfeld加群を $H$ の部分空間として実現すること。
• コサイクル捩りデータを介して、$H$ と $H^\sigma$ の単純加群の間の明示的公式を導出すること。
• MajidのYetter-Drinfeld $H$-加群と $D(H)$-加群の同値性を活用し、$D(H)$-加群と $D(H^\sigma)$-加群の圏を関連させること。
• Singular::Pluralというコンピュータ代数システムを用いたグレブナー基底技法による加群次元の計算。
• $\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ の単純加群の次元公式を、モジュラー算術とカルタン行列系を用いてパラメータ $m_1, m_2$ の形で導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指向的ホップ代数 $H$ のコサイクル捩り $H^\sigma$ が、単純Yetter-Drinfeld加群の構造を保存する条件は何か？ また、その対応関係はどのように明示的に記述できるか？
• RQ2 $r$ と $s$ が互いに逆数でない場合、$\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ の表現理論は $\mathfrak{u}_{q,q^{-1}}(\mathfrak{sl}_n)$ のそれとどのように関係するか？
• RQ3 $\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ がDrinfeld双対であるようなパラメータ条件下で、単純Yetter-Drinfeld加群の正確な次元は何か？
• RQ4 $\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ と $\mathfrak{u}_{q,q^{-1}}(\mathfrak{sl}_n)$ の間の表現理論の類似性は、非同型の量子群に対しコサイクル捩りによって説明可能か？
• RQ5 コサイクル捩りが存在しない場合、このような同値性の限界は何か？ また、そのような場合、単純加群の次元はどのように異なるか？

主な発見

• 多くの指向的ホップ代数に対して、$H$ と $H^\sigma$ の単純Yetter-Drinfeld加群の間の明示的公式が確立された。
• $D(H)$-加群の圏と $D(H^\sigma)$-加群の圏は、コサイクル捩りを通じて同値であり、この同値性は加群対応関係によって誘導される。
• $\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ に対して、特定のパラメータ条件下でコサイクル捩りが存在し、その結果、$\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_n)$ と $\mathfrak{u}_{q,q^{-1}}(\mathfrak{sl}_n)$ の表現圏が同値であることが示された。
• $q$ が原始的4乗根である場合、$\mathfrak{u}_{1,q}(\mathfrak{sl}_3)$ と $\mathfrak{u}_{q,q^{-1}}(\mathfrak{sl}_3)$ の単純加群の次元は顕著に異なり、一般には同値性が成立しないことを示した。
• $\mathfrak{u}_{r,s}(\mathfrak{sl}_3)$-加群の単純加群の次元は、$m_1 + m_2 \leq \ell$ のとき $\frac{1}{2}m_1m_2(m_1 + m_2)$、$m_1 + m_2 > \ell$ のとき $\frac{1}{2}m_1m_2(m_1 + m_2) - \frac{1}{2}m_1'm_2'(m_1' + m_2')$ で与えられる。ここで $m_1 \equiv (2d_1 - d_2 + 1) \mod \ell$、$m_2 \equiv (2d_2 - d_1 + 1) \mod \ell$ である。