[論文レビュー] Yoneda representations of flat functors and classifying toposes

Olivia Caramello|arXiv (Cornell University)|May 15, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、インデックス付き圏論を用いて、${\bf Sh}(\mathcal{C},J)$型のトポスによって分類される理論のモデルを、プレシェーブ・トポス$[\mathcal{C}^{\textrm{op}},{\bf Set}]$によって分類される理論のモデルの観点から特徴付けるために、'平坦関手のヤネダ表現'と呼ばれる新規な技法を導入する。主な貢献は、エピモルフィックなファミリーとしてのホム対象による$J$-同調的モデルの特徴付けであり、分類トポスと平坦関手の間のモリタ的ブリッジを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we first introduce a technique that we call "Yoneda representation of flat functors", based on ideas from indexed category theory; then we provide applications of this technique to the theory of classifying toposes. Specifically, we obtain results characterizing the models of a theory classified by a topos of the form Sh(C,J) in terms of the models of a theory classified by the topos [C^op, Set].

研究の動機と目的

• 分類トポスにおけるモデルを分析するために、インデックス付き圏論を用いた新規な手法—平坦関手のヤネダ表現—を構築すること。
• ${\bf Sh}(\mathcal{C},J)$型のトポスによって分類される理論のモデルを、プレシェーブ・トポス$[\mathcal{C}^{\textrm{op}},{\bf Set}]$によって分類される理論のモデルの観点から特徴付けること。
• ヤネダ埋め込みとインデックス付きホム関手を通じて、トポス内の平坦関手と内部図式の間の関係を確立すること。
• ${\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$における$J$-同調的モデルを定義し、それらをシーブ・トポスにおけるモデルの特徴付けのためのツールとして分析すること。

提案手法

• 局所的に小さな完全なトポス$\mathcal{E}$に対して、$[\mathcal{C},\mathcal{E}]$と$[\mathbb{C},\mathcal{E}]$の同値を用いる。ここで$\mathbb{C}$は$\mathcal{C}$の$\mathcal{E}$における内部化である。
• $\mathcal{E}$-インデックス付きヤネダ関手$\mathbb{Y}: \mathbb{C} \to \underline{[\mathbb{C}^{\textrm{op}}, \mathcal{E}]}$を適用し、$\mathcal{E}$におけるホム対象を通じて平坦関手を表現する。
• $\mathcal{E}$-インデックス付きホム関手$Hom_{[\mathcal{C},\mathcal{E}]}^{\mathcal{E}}(F,G)$を構成し、各対の関手$F,G$に対して、引き戻し後に自然変換を表す$\mathcal{E}$内の対象を割り当てる。
• 理論$\mathbb{T}$がプレシェーブ型である場合と、$\mathcal{C}^{\textrm{op}}$上の平坦関手の理論との間のモリタ同値を用い、$\mathcal{C} = \textrm{f.p.}\,\mathbb{T}\textrm{-mod}({\bf Set})$であることに基づき、$\mathcal{E}$-モデルへ構造を移す。
• $J$-同調的モデルを、各コサイド$S \in J(c)$に対して、$Hom_{{\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})}^{\mathcal{E}}(\gamma^*_{\mathcal{E}}(i(f)), M)$が$\mathcal{E}$内でエピモルフィックであることを要件として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圏$\mathcal{C}$上の平坦関手は、インデックス付きカテゴリカル枠組みにおけるヤネダ埋め込みを通じてどのように表現できるか？
• RQ2 シーブ・トポス${\bf Sh}(\mathcal{C},J)$におけるモデルとプレシェーブ・トポス$[\mathcal{C}^{\textrm{op}}, {\bf Set}]$におけるモデルとの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 平坦性の概念は、トポス$\mathcal{E}$におけるインデックス付きホム対象を用いてどのように内部化され、特徴付けられるか？
• RQ4 ${\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$におけるモデル$M$が、$\mathcal{C}$上の平坦関手から生じるための条件は何か？
• RQ5 $J$-同調的モデルの意義は、分類トポスとモリタ同値の文脈でどのような役割を果たすか？

主な発見

• 平坦関手$F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}$のヤネダ表現は、$F \cong Hom_{[\mathcal{C}^{\textrm{op}}, \mathcal{E}]}^{\mathcal{E}}(\overline{Y}(-), F)$として与えられ、ここで$\overline{Y}$はインデックス付き設定におけるヤネダ埋め込みである。
• プレシェーブ型の理論$\mathbb{T}$に対して、$\mathcal{C} = \textrm{f.p.}\,\mathbb{T}\textrm{-mod}({\bf Set})$はカウチ完備であるため、その有限生成モデルから再構成可能である。
• 平坦関手$F \in \mathbf{Flat}(\mathcal{C}^{\textrm{op}}, \mathcal{E})$に対応するモデル$M_F \in \mathbb{T}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$は、$F \circ \tau \cong Hom_{{\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})}^{\mathcal{E}}(\gamma^*_{\mathcal{E}}(i(-)), M_F)$を満たし、自然同型を確立する。
• ${\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})$におけるモデル$M$が$J$-同調的であるための必要十分条件は、任意のコサイド$S \in J(c)$に対して、ファミリー$Hom_{{\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})}^{\mathcal{E}}(\gamma^*_{\mathcal{E}}(i(f)), M)$が$\mathcal{E}$内でエピモルフィックであることである。
• $J$が原子的トポスである場合、$J$-同調的性は、$\mathcal{C}$内の任意の射$f: c \to d$に対して、$Hom_{{\mathbb{T}}\textrm{-mod}(\mathcal{E})}^{\mathcal{E}}(\gamma^*_{\mathcal{E}}(i(f)), M)$がエピモルフィズムであることを要件とする。