[論文レビュー] Z_2 indices and factorization properties of odd symmetric Fredholm operators

Hermann Schulz‐Baldes|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、分離可能なヒルベルト空間上の奇対称フレドホルム作用素に対して、因子分解定理を確立し、任意の有界作用素 $ A $ に対して $ T = I^*A^tIA $ と書けることを証明している。主な貢献は、核の次元の偶奇に基づく $ \mathbb{Z}_2 $-インデックスの導入であり、これは時間反転対称性をもつ系、例えばトポロジカル絶縁体に応用可能な位相的不変量を提供する。

ABSTRACT

A bounded operator $T$ on a separable, complex Hilbert space is said to be odd symmetric if $I^*T^tI=T$ where $I$ is a real unitary satisfying $I^2=-1$ and $T^t$ denotes the transpose of $T$. It is proved that such an operator can always be factorized as $T=I^*A^tIA$ with some operator $A$. This generalizes a result of Hua and Siegel for matrices. As application it is proved that the set of odd symmetric Fredholm operators has two connected components labelled by a $Z_2$-index given by the parity of the dimension of the kernel of $T$. This recovers a result of Atiyah and Singer. Two examples of $Z_2$-valued index theorems are provided, one being a version of the Noether-Gohberg-Krein theorem with symmetries and the other an application to topological insulators.

研究の動機と目的

• 分離可能なヒルベルト空間上の奇対称フレドホルム作用素に対する一般化された因子分解性質を確立すること。
• このような作用素の核次元の偶奇に基づく $ \mathbb{Z}_2 $-インデックスを定義し、その分析を行うこと。
• 時間反転対称系の文脈において、アティヤ＝シンガーのインデックス定理を回復・一般化すること。
• 特にトポロジカル絶縁体を対象として、$ \mathbb{Z}_2 $-値インデックス定理の数学的枠組みを提供すること。
• スペクトル理論およびフレドホルム理論を用いて、時間反転対称性の破れを伴う摂動に対してトポロジカル不変量が安定であることを示すこと。

提案手法

• 作用素 $ I $ が $ I^2 = -\mathbf{1} $ を満たす実スケュークアダジョイントユニタリ作用素として存在することを用い、$ I^*T^tI = T $ を満たす奇対称作用素のクラスを定義する。
• 任意の奇対称作用素 $ T $ が、ある $ A \in \mathbb{B}(\mathcal{H}) $ を用いて $ T = I^*A^tIA $ と因子分解可能であることを証明し、ホアとシーゲルの結果を一般化する。
• 因子分解を応用し、奇対称フレドホルム作用素の集合が、$ \mathbb{Z}_2 $-インデックス $ \mathrm{Ind}_2(T) = \dim(\ker T) \mod 2 $ によってラベル付けられた2つの連結成分に分かれることを示す。
• このような作用素のスペクトル的性質を分析し、一般化固有空間が偶数次元であることを示し、クライマーの degeneracy を一般化する。
• フェルミ射影 $ P $ に対して、$ PAP $ の正負のスペクトルへのリース射影 $ P_\pm $ を構成し、それらを部分空間上のフレドホルム作用素を定義するために用いる。
• 制限作用素 $ P_\pm F P_\pm $ のノエターインデックスが mod 2 で等しく、時間反転対称性を破る摂動に対して安定であることを示し、その結果として堅牢な $ \mathbb{Z}_2 $ 不変量が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の奇対称フレドホルム作用素は、ある有界作用素 $ A $ を用いて $ T = I^*A^tIA $ と因子分解可能か？
• RQ2 奇対称フレドホルム作用素の空間の連結成分を分類する位相的不変量は何か？
• RQ3 $ \mathbb{Z}_2 $-インデックスは、特に有限次元およびコンパクトな場合に、このような作用素のスペクトル的 degeneracy とどのように関係するか？
• RQ4 時間反転対称性が破れる系において、$ \mathbb{Z}_2 $-インデックスを安定不変量として解釈できるか？
• RQ5 トポロジカル絶縁体において、$ \mathbb{Z}_2 $-インデックスの物理的意味は何か、特にスピンチーン数とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の奇対称フレドホルム作用素 $ T \in \mathbb{F}(\mathcal{H}, I) $ は、ある $ A \in \mathbb{B}(\mathcal{H}) $ を用いて $ T = I^*A^tIA $ と因子分解可能であり、$ \dim(\ker T) $ が偶数または無限大のとき $ \ker A = \ker T $ が成り立つ。
• 奇対称フレドホルム作用素の空間は、正確に2つの連結成分に分かれており、$ \mathbb{Z}_2 $-インデックス $ \mathrm{Ind}_2(T) = \dim(\ker T) \mod 2 $ によって分類される。
• コンパクトな奇対称作用素 $ K $ に対して、任意の $ \lambda \neq 0 $ および $ k \geq 1 $ に対して、一般化固有空間の次元 $ d_k(K, \lambda) $ は偶数である。
• 有限次元では、任意の $ \lambda \in \mathbb{C} $ に対して、一般化固有空間の次元 $ d_k(T, \lambda) $ および $ d_1(T^*T, \lambda) $ は偶数である。これはクライマーの degeneracy を一般化する。
• $ P_\pm F P_\pm $ のノエターインデックスは $ \mathrm{Ind}(P_+ F P_+) = -\mathrm{Ind}(P_- F P_-) $ を満たし、その値の mod 2 が $ \mathbb{Z}_2 $-不変量を定義する。
• $ \mathbb{Z}_2 $-不変量 $ \mathrm{Ind}_2(T_P) $ は、磁場など時間反転対称性を破る摂動に対して安定であり、$ \mathbb{F}(\mathcal{H}, I) $ 内のホモトピー論的議論によって示された。