[論文レビュー] Z/2Z topological order and Majorana doubling in Kitaev Chain

Rukhsan Ul Haq, Louis H. Kauffman|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2017

Advanced Condensed Matter Physics被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、キタエフチェーン模型におけるZ/2Zトポロジカル秩序とマヨラナダブルングを調査し、フェルミオンモード演算子と非可換対称演算子の2つの異なるメカニズムが、マヨラナフェルミオンキュービットのトポロジカル保護を提供することを示している。トポロジカル保護の一般枠組みを確立し、これら2つのアプローチの同等性と、基底状態デゲネラシーを維持する役割を示している。

ABSTRACT

The Kitaev chain model exhibits topological order that manifests as topological degeneracy, Majorana edge modes and $Z_{2}$ topological invariance of the abulk spectrum. This model can be obtained from a transverse field Ising model(TFIM) using the Jordan-Wigner transformation. TFIM has neither topological degeneracy nor any edge modes. Topological degeneracy associated with topological order is central to topological quantum computation. In this paper we will explore topological protection of the ground state manifold in the case of Majorana fermion models which exhibit $Z_{2}$ topological order. We will show that there are at least two different ways to understand this topological protection of Majorana fermion qubits: one way is based on fermionic mode operators and the other is based on anti-commuting symmetry operators. We will also show how these two different ways are related to each other. We provide a very general approach of understanding the topological protection of Majorana fermion qubits in the case of lattice Hamiltonians.

研究の動機と目的

• キタエフチェーン模型内におけるマヨラナフェルミオンキュービットのトポロジカル保護の起源を理解すること。
• Z/2Zトポロジカル秩序が、トポロジカルデゲネラシーとマヨラナ端モードを通じてキタエフチェーンにどのように現れるかを明確にすること。
• フェルミオンモード演算子と非可換対称演算子の2つの異なる理論的枠組みが、トポロジカル保護を記述する上でどのように比較・統合されるかを明らかにすること。
• Z/2Zトポロジカル秩序を示す格子ハミルトニアンに一般化可能なアプローチを構築すること。

提案手法

• 横磁場イジング模型（TFIM）をキタエフチェーンに写像するためのジョルダン＝ヴァイアーガー変換を用い、両モデルの関係を確立する。
• キタエフチェーンのバルクスペクトルを分析し、Z_2トポロジカル不変量を同定する。
• フェルミオンモード演算子を用いて基底状態多様体とそのトポロジカル保護を記述する。
• 非可換対称演算子を導入し、デゲネラティブな基底状態を保護する代替メカニズムを提示する。
• フェルミオンモード演算子アプローチと非可換対称演算子アプローチの同等性を示す。
• Z/2Zトポロジカル秩序を示す格子モデルにおけるトポロジカル保護の一般枠組みを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 親となる横磁場イジング模型にZ/2Zトポロジカル秩序が存在しないにもかかわらず、キタエフチェーン模型にZ/2Zトポロジカル秩序がどのように現れるのか？
• RQ2 キタエフチェーンにおけるマヨラナフェルミオンキュービットのトポロジカル保護を提供する2つの異なるメカニズムは何か？
• RQ3 フェルミオンモード演算子と非可換対称演算子のアプローチは、どのようにして基底状態デゲネラシーを保護するか関係づけられるか？
• RQ4 Z/2Zトポロジカル秩序を示す格子ハミルトニアンにおけるトポロジカル保護の一般構造は何か？
• RQ5 キタエフチェーンのトポロジカルデゲネラシーは、そのバルクスペクトル不変量とどのように関係するか？

主な発見

• キタエフチェーンは、Z_2対称性の下でのバルクスペクトルの不変性に起因し、トポロジカルデゲネラシーとマヨラナ端モードを特徴とするZ/2Zトポロジカル秩序を示す。
• 基底状態多様体のトポロジカル保護は、フェルミオンモード演算子と非可換対称演算子の2つの同等なメカニズムによって達成される。
• フェルミオンモード演算子アプローチは、ゼロエネルギーのマヨラナモードとデゲネラティブな基底状態の間の直接的な関係を提供する。
• 非可換対称演算子アプローチは、基底状態デゲネラシーを保護する非局所的対称性構造を明らかにする。
• 2つのアプローチは数学的に同等であり、対称演算子がフェルミオンモードと同一のトポロジカル不変量を生成することが示された。
• Z/2Zトポロジカル秩序を示す格子ハミルトニアンにおけるトポロジカル保護の一般枠組みが確立され、キタエフチェーンを超えた他の系への応用が可能となった。