[論文レビュー] $Z_N$ symmetric chiral Rabi model: a new $N$-level system

Yao-Zhong Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

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ひとこと要約

本稿では、$N$-レベル原子のための新しい$\mathbb{Z}_N$対称性を持つキラルRabi模型を導入する。これは、ハミルトニアンのエルミート性を保ちつつ、複素数の準位分裂パラメータを許容することで、二準位Rabi模型を一般化したものである。この模型は、超越関数の零点によって定まる$N$重の縮退を示す特異エネルギーと通常のエネルギーを有し、$N=3$の場合にはバーグマン＝ヒルベルト空間解析と連分数を用いて正確な解が得られる。$\mathbb{Z}_N$対称性により部分的対角化が可能となり、スペクトルの解析的取り扱いが可能となる。

ABSTRACT

We present a new tractable quantum Rabi model for $N$-level atoms by extending the $\mathbb Z_2$ symmetry of the two-state Rabi model. The Hamiltonian is $\mathbb Z_N$ symmetric and allows the parameters in the level separation terms to be complex while remaining hermitian. This latter property means that the new model is {\em chiral}, which makes it differ from any existing $N$-state Rabi models in the literature. The $\mathbb Z_N$ symmetry provides partial diagonalization of the general Hamiltonian. The exact isolated (i.e. exceptional) energies of the model have the Rabi-like form but are $N$-fold degenerate. For the three-state case ($N=3$), we obtain three transcendental functions whose zeros give the regular (i.e. non-exceptional) energies of the model.

研究の動機と目的

• 二準位量子Rabi模型を、取り扱いやすくエルミート性を保つハミルトニアンを持つ$N$-準位系に拡張すること。
• 準位分裂項に複素数パラメータを含めつつもエルミート性を保つモデルを構築し、キラルな振る舞いを可能にする。
• $\mathbb{Z}_N$対称性を活用して部分的対角化と正確な可解性を実現すること。
• $N=3$の場合の特異エネルギーと通常エネルギーの両方について、正確な式表現を導出すること。
• 多準位原子-キャビティ系における実験的実現の基盤を提供すること。

提案手法

• $Z^N = X^N = 1$ および $ZX = \omega XZ$（$\omega = e^{2\pi i/N}$）を満たす$N$次元のパウリ類似演算子$Z$と$X$を用いて、二準位Rabi模型を一般化する。
• ハミルトニアン$H_N = \Omega b^†b + \Delta \sum_{m=1}^{N-1} \alpha_m Z^m + \lambda(X^†b^† + Xb)$を構築し、$\alpha_m$が複素数であっても$\alpha_m^\dagger = \alpha_{N-m}$を満たすようにすることでエルミート性を保証する。
• $\mathbb{Z}_N$対称性を用いてハミルトニアンをブロック対角化し、$N$つの結合チャンネルへの問題の還元を行う。
• バーグマン＝ヒルベルト空間表現を用いて、波動関数をボソンフォック状態のべき級数として表現する。
• 展開係数の再帰関係を導出し、連分数を用いて最小解を同定する。
• 再帰係数の連分数から導かれる超越関数$F^{(s)}(E^{(s)})$の零点が通常エネルギー固有値を与えるものとし、$s$は$\mathbb{Z}_N$セクターをインデックスする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N$-準位原子に対して、複素数の準位分裂パラメータを許容しつつ$\mathbb{Z}_N$対称性とエルミート性を保つハミルトニアンを構築できるか？
• RQ2 $\mathbb{Z}_N$対称性は、モデルの部分的対角化と正確な可解性をどのように実現するか？
• RQ3 $N=3$の場合のエネルギー準位構造、特に特異エネルギーと通常エネルギーの構造はいかなるものか？
• RQ4 再帰関係から導かれる超越関数を用いて、通常エネルギー準位を解析的にどのように特定できるか？
• RQ5 連分数は、バーグマン＝ヒルベルト空間における全波動関数解の特定にどのように寄与するか？

主な発見

• ハミルトニアンは、準位分裂パラメータ$\alpha_m$が複素数であっても$\mathbb{Z}_N$対称性とエルミート性を保ち、モデルがキラルであることを示す。
• 特異エネルギー（多項式波動関数に対応）は、Rabi模型に類似した形を取るが、$N$重に縮退している。
• $N=3$の場合、通常エネルギーは3つの超越関数$F^{(s)}(E^{(s)})$の零点によって決定され、再帰係数の連分数から導出される。
• 波動関数展開係数は、直交多項式に関連する3項再帰関係を満たし、体系的な解法が可能となる。
• このモデルは、キラル相互作用を有する$N$-準位系へのRabi模型の最小的で取り扱いやすく物理的に意味のある一般化を提供する。
• 連分数法によりバーグマン＝ヒルベルト空間における全解が特定可能となり、$F^{(s)}(E^{(s)})=0$の根を求めることで離散固有値が得られる。