[論文レビュー] Z2Z4-additive cyclic codes, generator polynomials and dual codes

Joaquim Borges, Cristina Fernández-Córdoba+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、Z₂[x]/(x^α−1) および Z₄[x]/(x^β−1) 上の生成多項式を用いて、Z₂Z₄加法的巡回符号の特徴付けを提示する。Henselの上昇とgcdに基づく構成を用いて、双対符号の生成多項式の明示的公式を導出する。主な貢献は、このような巡回符号の双対符号を計算する包括的な代数的枠組みを提供することであり、これにより自己双対符号およびMDS符号の体系的構成と解析が可能になる。

ABSTRACT

A ${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$-additive code ${\cal C}\subseteq{\mathbb{Z}}_2^α imes{\mathbb{Z}}_4^β$ is called cyclic if the set of coordinates can be partitioned into two subsets, the set of ${\mathbb{Z}}_2$ and the set of ${\mathbb{Z}}_4$ coordinates, such that any cyclic shift of the coordinates of both subsets leaves the code invariant. These codes can be identified as submodules of the $\mathbb{Z}_4[x]$-module $\mathbb{Z}_2[x]/(x^α-1) imes\mathbb{Z}_4[x]/(x^β-1)$. The parameters of a ${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$-additive cyclic code are stated in terms of the degrees of the generator polynomials of the code. The generator polynomials of the dual code of a ${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$-additive cyclic code are determined in terms of the generator polynomials of the code ${\cal C}$.

研究の動機と目的

• Z₂^α × Z₄^β 上の Z₂Z₄加法的巡回符号の多項式に基づく代数的枠組みを確立すること。
• Z₂Z₄加法的巡回符号の双対符号の生成多項式を、元の符号の生成子を用いて特定すること。
• Henselの上昇とZ₂上での多項式因数分解を用いて、双対符号の生成子の明示的公式を提供すること。
• 代数的パrameter化を通じて、自己双対およびMDS Z₂Z₄加法的巡回符号の構成を可能にすること。
• Z₂Z₄加法的符号の構造を巡回不変性の下で統一することで、既知の二進およびZ₄巡回符号に関する結果を一般化すること。

提案手法

• Z₂Z₄加法的巡回符号を、Z₄[x]-加群 Z₂[x]/(x^α−1) × Z₄[x]/(x^β−1) の部分加群として表現する。
• x^β−1 = fgh とし、b(x), ℓ(x), f(x), h(x) を用い、b, ℓ ∈ Z₂[x] とする。
• Henselの上昇を用いて、Z₂[x] 上の多項式を Z₄[x] 上に上昇させ、双対符号の生成子を構成する。
• gcdとモジュラー逆元を含む公式を用いて双対符号の生成子を導出する：b* = (gcd(b,ℓ))*, ℓ* = (b*)⁻¹ mod (b*/gcd(b,ℓg)*), など。
• Z₂×Z₄ 上の標準的内積を用いて双対性を定義し、生成子集合の直交性を検証する。
• Z₂Z₄加法的符号と Z₂^γ × Z₄^δ 間の同型を活用して、符号パラメータを計算し、自己双対性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z₂Z₄加法的巡回符号の双対符号の生成多項式は、元の符号の生成子を用いて代数的にどのように特徴付けられるか？
• RQ2 Z₂Z₄加法的巡回符号が自己双対であるための条件は何であり、このような符号はどのように体系的に構成できるか？
• RQ3 MDS Z₂Z₄加法的巡回符号は、多項式生成子構造とSingletonの不等式を用いて特徴付けられるか？
• RQ4 Henselの上昇とgcdに基づく多項式簡約は、混合環上の双対符号の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 Z₂Z₄加法的巡回符号のパラメータ (α, β; γ, δ; κ) は、その生成多項式の次数および因数分解とどのように関係するか？

主な発見

• Z₂Z₄加法的巡回符号 C = ⟨(b|0), (ℓ|fh+2f)⟩ の双対符号は、C⊥ = ⟨(b̄|0), (ℓ̄|f̄h̄+2f̄)⟩ として明示的に与えられる。ここで b̄, ℓ̄, f̄, h̄ はHenselの上昇とgcdに基づく公式により導出される。
• 双対符号の生成多項式 b̄ は、Z₂[x] 内で b̄ = (x^α−1)/gcd(b,ℓ)* と与えられ、双対符号の正しい二進成分を保証する。
• 双対符号のZ₄成分の生成子 f̄h̄ は、(x^β−1)·gcd(b,ℓg)* / (f*b*) のHensel上昇として得られ、体系的な双対符号の構成を可能にする。
• 双対符号の ℓ̄ 生成子はモジュラー逆元を用いて計算され、Z₂[x] 内で ℓ̄ = (x^α−1)/b* · [ (gcd(b,ℓg)*/gcd(b,ℓ)*)·x^{m−deg(f)}·μ₁ + (b*/gcd(b,ℓg)*)·x^{m−deg(fh)}·μ₂ ] と表される。
• タイプ (3,3;2,1;2) の符号 C₁ = ⟨(x−1| x²+x+1+2)⟩ の双対符号は C₁⊥ = ⟨(x²+x+1|0), (x| (x−1)+2(x−1))⟩ であり、タイプ (3,3;1,2;1) であり、双対性の公式が確認された。
• α が偶数、β が奇数、b = x^{α/2}−1、ℓ=0、f=1、h=x^β−1 であるとき、無限個の自己双対 Z₂Z₄加法的巡回符号が存在し、タイプ (α,β; β+α/2, 0; α/2) をとる。