[論文レビュー] Zak's Phase in Non-Symmetric One-Dimensional Crystals

Marc Martí-Sabaté, Daniel Torrent|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2021

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一次元格子におけるZak位相を座標に依存するグローバル位相（global phase）と座標に依存しない内部位相（internal phase）に分解し、内部位相がバンド非対称性を定量化し、対称格子でのみ消えることを示している。フーリエ基底を用いた計算により、内部位相がフーリエ成分の相対的遅れに関連する頑健なバルク性質であることが明らかになり、量子系および古典的波動系におけるトポロジカルおよび構造的性質の特徴づけに新たな手法を提供する。

ABSTRACT

In this work, we derive some analytical properties of Berry's phase in one-dimensional quantum and classical crystals, also named Zak's phase, when computed with a Fourier basis. We show that Zak's phase can be divided in two terms: a global phase required to make the Bloch wave periodic in the Brillouin zone and an internal phase which measures the relative delay of the different Fourier terms within the Brillouin zone. While the former phase is dependent on the origin of coordinates of the unit cell, the latter is independent of it, so that it can be interpreted as an internal property of the band itself. We show that this internal phase is always zero for a symmetric crystal while it can take any value when this symmetry is broken, showing therefore that it can be interpreted as a measure of the assymetry of the band. Since for a symmetric crystal Zak's phase is entirely determined by the global part, we show that this can be easily calculated by means of the parity of the Fourier terms at the center and edge of the Brillouin zone, being therefore unnecessary the integration of the modes through the unit cell and the entire Brillouin zone. We provide numerical examples analyzing the internal part for both electronic and classical waves (acoustic or photonic). We analyze the weakest electronic potential capable of presenting asymmetry, as well as the double-Dirac delta potential, and in both examples it is found that the internal phase varies continuously as a function of a symmetry-control parameter, but it is zero when the crystal is symmetric. For classical waves, the layered material is analyzed. Although Zak's phase has been mainly studied in connection with the existence of edge states in finite crystals, we consider that the study of the internal phase can be more relevant to understand bulk properties of quantum and classical crystals.

研究の動機と目的

• 一次元格子におけるZak位相を座標に依存するグローバル成分と座標に依存しない内部成分に分解すること。
• 内部位相がバンドの非対称性を定量化し、対称格子でのみゼロとなることの確立。
• 全ブリユアンゾーンにわたる積分を用いずに、フーリエ係数の偶奇性のみを用いて内部位相を計算する手法の提供。
• 平面波展開法を用いて、音響的・光工学的格子（古典的波動系）への解析の拡張。
• 内部位相が物理的に意味のあるバルク不変量であることを示し、端状態に依存しないバンド構造の理解に寄与すること。

提案手法

• ブロッホ波動関数をフーリエ基底で表現する平面波展開（PWE）法を用い、Zak位相の解析的取り扱いを可能にする。
• Zak位相をフーリエ係数の和として表現：$\theta_0 = i\sum_m \int_{-\pi/a}^{\pi/a} u_m(k) \partial_k u_m^*(k) dk$ し、グローバル成分と内部成分に分離する。
• 内部位相を単位格子の移動に対して不変なZak位相の部分として同定し、フーリエ成分の相対的位相変化から導出する。
• 単一および二重ディラック・デルタポテンシャルを有する電子系、および層状構造材料を有する古典的波動系にこの手法を適用する。
• 数値シミュレーションを用いて、対称性破壊パラメータを変化させた際の内部位相およびBerry接続を計算する。
• 対称点（例：$\xi_2 = \xi_1$ または $\xi_2 = 0$）において内部位相がゼロとなり、それ以外では連続的に変化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称な一次元格子におけるZak位相は、座標に依存するグローバル成分と座標に依存しない内部成分に分解可能か？
• RQ2 内部位相の物理的意味は何か？バンド非対称性とどのように関係するか？
• RQ3 電子系および古典的波動系において、対称性破壊下での内部位相の振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 フーリエ係数の偶奇性のみを用いて、全ブリユアンゾーンにわたる積分を避けて内部位相を計算可能か？
• RQ5 内部位相は、端状態に依存しないバンド構造のバルク的特徴づけにどの程度有効か？

主な発見

• 内部位相は対称格子ではゼロ、非対称性が破れると非ゼロとなり、バンド非対称性の直接的な指標である。
• 内部位相は単位格子の原点に依存しないため、バンドの固有の性質であることが確立される。
• 対称格子ではZak位相はすべてグローバル位相によって決定され、これはブリユアンゾーンの中心および端におけるフーリエ係数の偶奇性から計算可能である。
• 二重ディラック・デルタポテンシャルでは、内部位相は対称性制御パラメータ$\xi_2$に連続的に依存し、対称配置でゼロとなる。
• 層状古典的波動系（音響的・光工学的格子）では、単位格子に逆転対称性がない限り内部位相は非ゼロとなり、原点のずれによって対称な単位格子が得られても同様である。
• 数値結果から、内部位相の主な寄与は、Berry接続が非ゼロとなるブリユアンゾーンの領域、特に$k=0$近辺またはゾーン端付近に集中していることが示された。