[論文レビュー] Zariski topologies on groups

Тарас Банах, Ігор Протасов|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、群 G と形式的変数 x における群の単項式の零点集合によって定義される、群上のザリスキー位相 $τ_n = \mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ を考察する。2番目のザリスキー位相は無限群では常に離散的でないことを証明し、連続体濃度の群でこの位相において可算な擬似性質を持つものを構成し、非位相化可能な群のうち665番目のザリスキー位相が離散的であることを示し、$τ_n$ が離散的になれる最小の $n$ について長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

The $n$-th Zariski topology on a group $G$ is generated by the sub-base consiting of the cozero sets of monomials of degree $\le n$ on $G$. We prove that for each group $G$ the 2-nd Zariski topology is not discrete and present an example of a group $G$ of cardinality continuum whose 2-nd Zariski topology has countable pseudocharacter. On the other hand, the non-topologizable group $G$ constructed by Ol'shanskii has discrete 665-th Zariski topology.

研究の動機と目的

• 任意の群 $G$ における $n$-番目のザリスキー位相 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ の位相的構造を分析すること。
• 特に無限群において $n$-番目のザリスキー位相が離散的になれる $n$ を特定すること。
• 2番目のザリスキー位相の擬似性質とその群の濃度依存性を調査すること。
• $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ の離散性と $G$ の非位相化可能性の関係を明確にすること。
• $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ が離散的になれる最小の $n$ についての未解決問題を解決すること。

提案手法

• $n$-番目のザリスキー位相 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ は、$G$ と $x$ における次数 $\leq n$ の単項式 $w$ を走る $\{x \in G : w(x) \neq 1\}$ という共零集合によって生成される。
• 単項式を群の単項式写像 $G \to G$ として解釈するため、自由積 $G[x] = G * \langle x \rangle$ を用いる。$w(g)$ は $g \in G$ における評価を表す。
• 2番目のザリスキー位相 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ が非離散的であることを示すため、位相が離散的であると仮定し、可算部分群に非離散なハウスドルフ位相を導入することで矛盾を導く。
• 連続体濃度の群 $G$ は、二分木の自己同型群 $\mathrm{Aut}(T)$ が自由群 $F(T)$ に作用することによって構成され、2番目のザリスキー位相で可算な擬似性質を持つことが実現される。
• 非位相化可能な群において665番目のザリスキー位相が離散的であることは、オルシャンスキーによる構成と、組合せ的群論の深い結果に依拠して確立される。
• 無限対称集合 $X$ を、$\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ が非離散であるという仮定の下で、数学的帰納法と濃度論的議論を用いて構成する。このとき $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の無限群 $G$ に対して、2番目のザリスキー位相 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ は非離散的か？
• RQ2 ある非可算群 $G$ に対して、擬似性質 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]})$ が可算になることは可能か？
• RQ3 非位相化可能な群 $G$ に対して、$\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ が離散的になれる最小の $n$ は何か？
• RQ4 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) \geq \log|G|$ は任意の無限群 $G$ に対して成り立つか？
• RQ5 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ が非離散であるならば、任意の有限集合 $A_0, \dots, A_n$ に対して $1 \notin A_0 \cdots A_n$ ならば $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$ を満たす無限対称集合 $X$ が存在するか？

主な発見

• 2番目のザリスキー位相 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ は、任意の無限群 $G$ に対して非離散的である。これは、可算部分群に非離散なハウスドルフ位相を導入することで矛盾を導く方法により証明された。
• 連続体濃度の群 $G$ に対して、擬似性質 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) = \aleph_0$ となるものが存在する。これは、$\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) \geq \aleph_0$ の下界が $|G|$ に改善できないことを示している。
• 非位相化可能な群 $G$ に対して、665番目のザリスキー位相 $\mathfrak{Z}_{G^{665}[x]}$ が離散的であることが示された。これは、オルシャンスキーが構成した群を用いて実現された。$n=665$ が離散性を実現するのに十分であることを示している。
• 任意の無限群 $G$ に対して、$\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ が非離散であるならば、$1 \notin A_0 A_1 \cdots A_n$ ならば $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$ を満たす無限対称集合 $X$ が存在する。
• 1番目のザリスキー位相の擬似性質は、任意の無限群 $G$ に対して $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{1}[x]}) = |G|$ を満たすが、2番目の位相では $\aleph_0$ 以上であるが、非可算群に対しても正確に $\aleph_0$ にできる。
• 本稿は、$\psi(G, \mathfrak{Z}_{G[x]}) = |G|$ である群は位相化可能であることを確認し、任意の無限濃度 $\kappa$ に対して、適切な位相化可能な群を用いて $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G[x]}) = \aleph_0$ が可能であることを示している。