[論文レビュー] Zermelo navigation in pseudo-Finsler metrics

Miguel Ángel Javaloyes, Henrique Vitório|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、接 bundle の円錐領域上での擬不連続計量へのZermeloナビゲーションの一般化を行う。擬不連続計量 $F$ をベクトル場 $W$ で平行移動することで新たな計量 $\hat{F}$ を得る。Matsumoto トランスフォーマーが恒等的に消えるのは、$F$ が半リーマン計量の平行移動であるときかつそのときに限ることを証明している。$W$ が等長的であるとき、$\hat{F}$ のフラッグ曲率は $F$ のものから非正の定数だけ異なる。また、測地線は $W$ のフローによって関連づけられる。これは古典的結果を擬不連続計量の設定に拡張するものである。

ABSTRACT

We generalize the notion of Zermelo navigation to arbitrary pseudo-Finsler metrics possibly defined in conic subsets. The translation of a pseudo-Finsler metric $F$ is a new pseudo-Finsler metric whose indicatrix is the translation of the indicatrix of $F$ by a vector field $W$ at each point, where $W$ is an arbitrary vector field. Then we show that the Matsumoto tensor of a pseudo-Finsler metric is equal to zero if and only if it is the translation of a semi-Riemannian metric, and when $W$ is homothetic, the flag curvature of the translation coincides with the one of the original one up to the addition of a non-positive constant. In this case, we also give a description of the geodesic flow of the translation.

研究の動機と目的

• 接 bundle の円錐部分集合上で定義された擬不連続計量へのZermeloナビゲーション問題の拡張。
• ベクトル場 $W$ による擬不連続計量 $F$ の平行移動を定義し、新たな計量 $\hat{F}$ の幾何的性質を研究すること。
• 擬不連続計量設定におけるMatsumoto トランスフォーマーの消滅を用いて、擬ランダース・クロピナ計量を特徴付けること。
• ベクトル場 $W$ が等長的である場合に、計量 $F$ と $\hat{F}$ の測地線フローおよびフラッグ曲率との関係を明らかにすること。
• 定数フラッグ曲率を持つランダースおよびクロピナ計量に関する既知の結果を、より広い擬不連続計量フレームワークへと一般化すること。

提案手法

• 各点 $p \in M$ において、$\hat{F}$ の指示器が $F$ の指示器を $W_p$ で平行移動するように、擬不連続計量 $F$ のベクトル場 $W$ による平行移動を定義する。
• 円錐型擬不連続計量に対してMatsumoto トランスフォーマーを導入し、基本テンソルの符号を考慮して古典的定義を適応する。
• アフィン微分幾何学的手法を用いて、円錐型擬不連続計量が擬ランダース・クロピナ型であるための必要十分条件として、Matsumoto トランスフォーマーが恒等的に消えることであることを証明する。
• Legendre 変換の双対性関係を確立し、平行移動のタイプに応じて $\hat{F}^*(\xi) = F^*(\xi) + W(\xi)$ または $\hat{F}^*(\xi) = -\tilde{F}^*(\xi) + W(\xi)$ が成り立つことを示す。
• 補題 5.13 を適用して、$F$ と $\hat{F}$ の共測地線フローの関係を導出し、$W$ が等長的であるとき $\hat{\gamma}(t) = \psi_t^W(\gamma(f(t)))$ が成り立ち、$f(t) = (e^{\sigma t} - 1)/\sigma$（$\sigma \neq 0$）かつ $f(t) = t$（$\sigma = 0$）であることを証明する。
• フラッグ曲率の関係式 $K_{\hat{F}}(u, \Pi) = K_F(u/\hat{F}(u) - W, \tilde{\Pi}) - \frac{\sigma^2}{4}$ を導出し、等長的平行移動の下で曲率が非正の定数分だけ減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円錐型擬不連続計量が擬ランダース・クロピナ計量と同値であるのはいつか？ その同値性を特徴付ける幾何的条件は何か？
• RQ2 擬不連続計量設定におけるMatsumoto トランスフォーマーはどのように振る舞い、その消滅は計量構造にどのような意味を持つのか？
• RQ3 ベクトル場 $W$ が等長的であるとき、擬不連続計量 $F$ とその平行移動 $\hat{F}$ の測地線フローの関係は何か？
• RQ4 等長的平行移動の下で、$\hat{F}$ のフラッグ曲率は $F$ のものとどのように関係するか？ その定量的差異は何か？
• RQ5 ランダースおよびクロピナ計量における定数フラッグ曲率に関する結果を、ナビゲーションを用いてより広い擬不連続計量のクラスへと拡張できるか？

主な発見

• 円錐型擬不連続計量のMatsumoto トランスフォーマーが恒等的に消えるのは、計量 $F$ が半リーマン計量の平行移動であるときかつそのときに限る。
• ベクトル場 $W$ が等長的であるとき、平行移動された計量 $\hat{F}$ のフラッグ曲率は、方向を変換した $F$ のフラッグ曲率から非正の定数 $\frac{\sigma^2}{4}$ を引いたものに等しい。
• 計量 $\hat{F}$ の単位速度測地線は $\hat{\gamma}(t) = \psi_t^W(\gamma(f(t)))$ で与えられ、ここで $f(t) = \frac{e^{\sigma t} - 1}{\sigma}$（$\sigma \neq 0$）かつ $f(t) = t$（$\sigma = 0$）であり、$\gamma$ は $F$ の測地線である。
• 計量 $F$ が測地的に完全で、ベクトル場 $W$ が完全な等長的ベクトル場であるとき、$\hat{F}$ に対しても測地的に完全である。
• 計量 $F$ と $\hat{F}$ のLegendre 双対は、平行移動のタイプに応じて $\hat{F}^*(\xi) = F^*(\xi) + W(\xi)$ または $\hat{F}^*(\xi) = -\tilde{F}^*(\xi) + W(\xi)$ で関係づけられる。
• 定数フラッグ曲率を持つすべての擬ランダース・クロピナ計量は、定数断面曲率を持つ半リーマン計量を等長的ベクトル場による平行移動で得るものであり、そのような計量は多様体全体で測地的に完全である。