[論文レビュー] Zero and Finite Energy Dirac Points in the Energy Band Structure of Magnetic Bilayer Graphene Superlattices

C. Huy Pham, Thuong Thuong Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2014

Graphene research and applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本研究は、平均磁束がゼロである周期的 $δ$-関数磁場ポテンシャル下における二層グラフェンスーパーラティスのエネルギー帯構造を、四バンド連続モデルと伝搬行列法を用いて調査する。このポテンシャルが運動量空間でシフトしたゼロエネルギーのディラック点に加え、ブリユアンゾーンの端で新たな有限エネルギーのディラック点を誘発することを示し、特に対称配置ではエネルギー位置と速度の正確な解析的表現が得られることを明らかにする。

ABSTRACT

Energy band structure of the bilayer graphene superlattices with $δ$-function magnetic barriers and zero average magnetic flux is studied within the four-band continuum model, using the transfer matrix method. The periodic magnetic potential effects on the zero-energy Dirac point of pristine bilayer graphene are exactly analyzed. Magnetic potential is shown also to generate finite-energy Dirac points at the edges of Brillouin zone the positions of which and the related dispersions are determined in the case of symmetric potentials.

研究の動機と目的

• 平均磁束がゼロである周期的 $δ$-関数磁場ポテンシャルが二層グラフェンスーパーラティスのエネルギー帯構造に与える影響を調査すること。
• このような磁場ポテンシャルが、電場スーパーラティスで観察されたものと同様の有限エネルギーのディラック点を生成できるかどうかを特定すること。
• これらのディラック点の分散関係および群速度を分析し、特にその異方性とポテンシャルパラメータへの依存性を検討すること。
• 対称的および非対称な磁場スーパーラティスのディラック点形成および安定性の観点から、それらの挙動を比較すること。

提案手法

• Bernal積層二層グラフェンの低エネルギー励起を記述するために、四バンド連続近似近接原子モデルが用いられる。
• 磁場はベクトルポテンシャル $A(x)$ を介して組み込まれ、交互に $+B_0$ と $-B_0$ の障壁を持つKronig-Penney型の周期的ポテンシャルとしてモデル化される。
• 時間に依存しないシュレーディンガー方程式のハミルトニアンに対して伝搬行列法が適用され、エネルギー帯および波動関数の計算が可能になる。
• 対称状態において、有限エネルギーのディラック点のエネルギー位置の解析的表現が、条件 $E = \pm \sqrt{v_{nx}^2(k_x - \pi/d)^2 + v_{ny}^2 k_y^2}$ を用いて導出される。
• 数値計算により、運動量空間における分散および群速度成分 $v_{nx}$ と $v_{ny}$ が計算され、特に最低次の有限エネルギーのディラック点について分析される。
• 状態密度（DOS）が計算され、スーパーラティスと純粋な二層グラフェンとの間で比較され、ディラック点の特徴を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均磁束がゼロである周期的磁場ポテンシャルが、二層グラフェンスーパーラティスに有限エネルギーのディラック点を誘発できるか？
• RQ2 これらの有限エネルギーのディラック点の位置および分散は、磁場ポテンシャルの強さ $A_0$ と周期 $d$ にどのように依存するか？
• RQ3 ディラック錐分散の異方性は何か？また、どのパrameter値で等方性が実現されるか？
• RQ4 磁場障壁および井戸の幅に非対称性（$q \neq 1$）がある場合、ディラック点の形成および位置にどのような影響を与えるか？
• RQ5 平均磁束がゼロの条件下で、ポテンシャル形状の変化に対して観察されたディラック点の特徴がどの程度頑健であるか？

主な発見

• 純粋な二層グラフェンに存在する元々のゼロエネルギーのディラック点は、磁場スーパーラティス下で $k_x = 0$ から有限の $k_y$-位置にシフトするが、$k_y$-依存の有効質量を有する放物型分散を維持する。
• 対称的磁場スーパーラティスにおいて、ブリユアンゾーンの端（$k_x = \pm \pi/d$）に有限エネルギーのディラック点が出現し、エネルギー位置は $E_n = \sqrt{t_\perp^2 + \left(\frac{2A_0}{d}\right)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{2A_0}{d\pi}\right)^2}}$ で与えられる。
• これらの有限エネルギーのディラック点の近傍では線形かつ異方的分散を示し、$A_0$ と $d$ が小さい場合には $v_{1x} \gg v_{1y}$ となる。等方性は $A_0^{(c)} \approx 1.5$ または $d^{(c)} \approx 10.435$ で達成される。
• 非対称スーパーラティス（$q \neq 1$）では、有限エネルギーのディラック点は still $k_x = \pm \pi/d$ に形成されるが、$k_y^{(f)} \approx 0.09$ の非ゼロ位置にあり、より複雑なエネルギーおよび速度依存性を示す。
• 状態密度（DOS）は、有限エネルギーのディラック点に対応する明確な谷を示し、ゼロエネルギーのディラック点に関連する $E=0$ における中央の最小値も観察される。
• 平均磁束がゼロの限り、ポテンシャル形状の変更に対しても結果が頑健であることが示され、他の周期的磁場ポテンシャルに対しても一般化可能であると考えられる。