[論文レビュー] Zero dissipation limit in the Abelian sandpile model

Antal A. Járai, Frank Redig+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2009

Theoretical and Computational Physics参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の微小な散逸を伴う連続高さ型アーベルサンドピラモデル（abelian avalanche model）を研究する。非ゼロの散逸に対して、重み付きSpanning Tree測度を用いて無限体積定常測度の存在を証明し、空間相関の指数的減衰を示す。さらに、ゼロ散逸極限が、定常測度およびダイナミクスの両面で自己組織的臨界性を回復することを確立する。

ABSTRACT

We study the abelian avalanche model, an analogue of the abelian sandpile model with continuous heights, which allows for arbitrary small values of dissipation. We prove that for non-zero dissipation, the infinite volume limit of the stationary measures of the abelian avalanche model exists and can be obtained via a weighted spanning tree measure. Moreover we obtain exponential decay of spatial covariances of local observables in the non-zero dissipation regime. We then study the zero dissipation limit and prove that the self-organized critical model is recovered, both for the stationary measures and for the dynamics.

研究の動機と目的

• 連続高さおよび任意の微小な散逸を伴うアーベルアバランチモデルの分析。
• 非ゼロ散逸領域における無限体積定常測度の存在を確立すること。
• 非ゼロ散逸下での局所観測量の空間相関の指数的減衰を示すこと。
• ゼロ散逸極限の検討および自己組織的臨界性との関係の解明。
• ゼロ散逸極限において、定常測度およびダイナミクスの両方が自己組織的臨界モデルに収束することを示すこと。

提案手法

• 散逸パラメータを備えた連続高さマルコフ過程としてアーベルアバランチモデルを形式化する。
• 無限体積極限における定常分布を記述するために重み付きSpanning Tree測度を用いる。
• 確率論的および組合せ論的技法を用いて空間相関の指数的減衰を証明する。
• 散逸パラメータがゼロに近づくときの定常測度およびダイナミクスの振る舞いを分析する。
• ゼロ散逸極限において、定常測度および力学法則が自己組織的臨界状態に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベルアバランチモデルにおいて、非ゼロ散逸の下で無限体積定常測度は存在するか？
• RQ2 非ゼロ散逸領域において、定常測度は重み付きSpanning Tree測度で表現可能か？
• RQ3 非ゼロ散逸の場合に、局所観測量の空間相関は距離とともに指数的に減衰するか？
• RQ4 定常測度のゼロ散逸極限は自己組織的臨界測度に収束するか？
• RQ5 ゼロ散逸極限は、自己組織的臨界モデルのダイナミクスと整合的か？

主な発見

• アーベルアバランチモデルにおいて、任意の非ゼロ散逸に対して無限体積定常測度が存在する。
• 非ゼロ散逸領域において、定常測度は重み付きSpanning Tree測度によって特徴付けられる。
• 非ゼロ散逸領域において、局所観測量の空間相関は距離とともに指数的に減衰する。
• 定常測度のゼロ散逸極限は自己組織的臨界測度に収束する。
• ダイナミクスのゼロ散逸極限もまた、自己組織的臨界ダイナミクスを回復する。