[論文レビュー] Zero divisors and L^p(G), II

Peter A. Linnell, Michael J. Puls|ArXiv.org|Mar 28, 2000

Rings, Modules, and Algebras参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、群代数 ℂG の非ゼロ元が、畳み込みにより L^p(G) に非自明に作用するかどうかを、自由アーベル群および自由群に対して調査する。p におけるこのような零因子が存在する鋭い閾値を確立する。ℤ^d に対しては、p ≤ 2d/(d−1) のとき、零因子は存在しない。自由群 F_k に対しては、フーリエ変換のスペクトル的性質に応じて閾値が変化し、L^2 の結果が p > 2 に拡張されないことが示される。

ABSTRACT

Let G be a discrete group, let $p \ge 1$, and let $L^p(G)$ denote the Banach space $\{\sum_{g\in G} a_g g \mid \sum_{g\in G} |a_g|^p < \infty\}$. The following problem will be studied: given $0 e α\in CG$ and $0 e β\in L^p(G)$, is $α* β e 0$? We will concentrate on the case G is a free abelian or free group.

研究の動機と目的

• p ≥ 1 および非ゼロ α ∈ ℂG、β ∈ L^p(G) に対して、畳み込み α*β が非ゼロであるかどうかを特定すること。
• 特に ℤ^d および F_k に対して、離散群における L^p(G) の零因子問題を解明すること。
• フーリエ変換のゼロ集合と相対的ゼロ度などの幾何的性質を用いて、p-零因子を特徴づけること。
• 自由群における L^2 の結果が p > 2 に拡張されないことを、明示的な構成を用いて示すこと。

提案手法

• d-次元トーラス 𝕋^d におけるフーリエ解析を用いて、α ∈ ℂℤ^d のフーリエ変換のゼロ集合 Z(α) を研究する。
• 幾何的解析を用いて、Z(α) を相対的ゼロ度 ν を持つ滑らかな (d−1)-次元部分多様体として特徴づける。
• ν を用いて、ℤ^d における p-零因子の鋭い閾値 p > 2(d−ν)/(d−1−ν) を導出する。
• 群の埋め込みと径数関数を用いた自由群 F_k における明示的例を構成し、p > 2 のとき L^p(β) の非退化性が成立しないことを示す。
• 正定値関数とバナッハ空間の単射を用いて、より大きな群から F_k への零因子の持ち上げを行う。
• α のスペクトルギャップに基づく p(α) 関数を定義し、L^1_r(F_k) における α が p-零因子であるような p の範囲を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ^d に対して、すべての非ゼロ α ∈ ℂℤ^d および β ∈ L^p(ℤ^d) に対して α * β ≠ 0 となる p は何か？
• RQ2 𝕋^d 内のフーリエ変換ゼロ集合 Z(α) にどのような幾何的条件が満たされると、α が ℤ^d における p-零因子となるか？
• RQ3 自由群における L^2 の非退化性結果を p > 2 に拡張できるか？
• RQ4 自由群 F_k における p-零因子の鋭い閾値は何か？また、スペクトルデータにどのように依存するか？
• RQ5 L^1_r(F_k) における p-零因子の存在は、α のスペクトルギャップによってどのように特徴づけられるか？

主な発見

• d ≥ 2 の ℤ^d に対して、すべての非ゼロ α ∈ ℂℤ^d および β ∈ L^p(ℤ^d) に対して α * β ≠ 0 であるための条件は、p ≤ 2d/(d−1) である。
• α ∈ ℂℤ^d が一様非ゼロ因子であるための必要十分条件は、そのフーリエ変換ゼロ集合 Z(α) が 𝕋^d 内の有限個の超平面の和集合に含まれることである。
• Z(α) が相対的ゼロ度 ν ≤ d−2 を持つ滑らかな (d−1)-次元部分多様体であるとき、α が p-零因子であるための必要十分条件は、p > 2(d−ν)/(d−1−ν) であること。
• k ≥ 2 の自由群 F_k に対して、非ゼロ α ∈ ℂF_k および β ∈ L^p(F_k) が存在し、すべての p > 2 に対して α * β = 0 となる。これは L^2 の結果が p > 2 に拡張されないことを示している。
• 単射 θ: F_k → F_{k+1} を用いた明示的構成により、より大きな自由群からの p-零因子を F_k に持ち上げることができ、p > 2 における L^p 非退化性の失敗を証明する。
• L^1_r(F_k) の径数関数に対して、p(α) はスペクトルギャップ m(α) を用いて定義され、α がすべての p > p(α) に対して p-零因子である。p(α) は (2k−1)^{1/p} を含む非線形方程式によって決定される。