[論文レビュー] Zero-Divisors of Content Algebras

Peyman Nasehpour|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2010

Rings, Modules, and Algebras参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可換環上のコンテンツ代数における零因子を調査し、基本環に最小素イデアルが拡張され、かつ基本環が性質 (A) を持つか、零因子が少ない場合、零因子グラフの直径がコンテンツ拡張において保存されることを証明する。主な結果として、R が性質 (A) を持ち、zd(R) = n であるならば、任意のコンテンツ R-代数 B に対して zd(B) = n であり、適切な条件下でグラフの直径は変わらない。

ABSTRACT

In this article, we prove that in content extentions minimal primes extend to minimal primes and discuss zero-divisors of a content algebra over a ring who has Property (A) or whose set of zero-divisors is a finite union of prime ideals. We also examine the preservation of diameter of zero-divisor graph under content extensions.

研究の動機と目的

• 多項式環からの零因子に関する結果を一般のコンテンツ代数へ拡張すること。
• コンテンツ拡張における最小素イデアルの挙動を調査すること。
• コンテンツ代数拡張において、零因子グラフの直径がどのように保存されるかを研究すること。
• コンテンツ代数の文脈において、零因子が少ない環および性質 (A) を持つ環を特徴付けること。
• コンテンツ拡張において、零因子グラフの直径が不変のまま保たれる条件を特定すること。

提案手法

• コンテンツ関数 c: B → FId(R) を用いてコンテンツ R-代数を定義し、c(rf) = r c(f) および Dedekind-Mertens の公式を満たすようにする。
• 最小素イデアル拡張定理を適用：B がコンテンツ R-代数であるならば、p ∈ Min(R) ならば pB ∈ Min(B) である。
• 「非常に少ない零因子」と「性質 (A)」の概念を導入し、ネーター環からの結果を一般化する。
• 素イデアル回避定理を用いて、Z(R) が素イデアルの有限個の和集合であるとき、Z(R) の最大素イデアルの一意性を示す。
• 零因子グラフ Γ(R) と Γ(B) を分析し、コンテンツ拡張における主要な不変量として直径を用いる。
• c: B → FId(R) が全射であるという条件を用いて、特に zd(R) = 1 または 2 の場合に直径保存定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R の最小素イデアルがコンテンツ R-代数 B に拡張される条件は何か？
• RQ2 R が性質 (A) を持つとき、Z(R) の最大素イデアルの数と Z(B) のそれらの関係は？
• RQ3 コンテンツ代数拡張において、零因子グラフの直径がいつ保存されるか？
• RQ4 R が原始的環であるか、零因子が少ない場合、零因子グラフの直径はどのように変化するか？
• RQ5 コンテンツ拡張において、Γ(B) の直径が Γ(R) を超えることはあり得るか？その条件は？

主な発見

• コンテンツ拡張において、R の最小素イデアルは B の最小素イデアルに拡張され、p ↦ pB による Min(R) と Min(B) の間の全単射が存在する。
• R が性質 (A) を持ち、zd(R) = n であるならば、任意のコンテンツ R-代数 B に対して zd(B) = n であり、Z(R) の最大素イデアルの数が保存される。
• R が可約で、最小素イデアルがちょうど2つであり、それより多くの真の零因子を持つならば、diam(Γ(R)) = diam(Γ(B)) = 2 である。
• R が原始的環で、Z(R)^2 ≠ (0) かつ性質 (A) を持つならば、diam(Γ(R)) = diam(Γ(B)) = 2 である。
• Z(R)^n = (0) だが Z(R)^{n-1} ≠ (0) であるような n > 2 の場合、diam(Γ(R)) = diam(Γ(B)) = 2 である。
• Z(R)^2 = (0) で R ≇ ℤ₂×ℤ₂ であるならば、diam(Γ(R)) = diam(Γ(B)) = 1 であるが、そうでない場合、diam(Γ(B)) = 1 となるのは R ≅ ℤ₂×ℤ₂ のときに限る。