[論文レビュー] Zero Energy States of Reduced Super Yang-Mills Theories in $d+1 = 4,6$ and 10 dimensions are necessarily $Spin(d)$ invariant

David Hasler, Jens Hoppe|ArXiv.org|Nov 23, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、d+1 = 4, 6, 10次元（d = 3, 5, 9）に compactified された低次元化されたスーパ Yang-Mills 理論におけるゼロエネルギー状態が、超電荷の反交換関係と角運動量生成子の性質を用いて、Spin(d) 群の単一表現（スリグレット）でなければならないことを証明している。d=2 の場合、全角運動量の上界を確立し、ゲージ群 SU(N) が奇数次元（つまり偶数 N）であるとき、Spin(2)-不変状態は存在しないことを示している。

ABSTRACT

We consider reduced Super Yang-Mills Theory in $d+1$ dimensions, where $d=2,3,5,9$. We present commutators to prove that for $d=3,5$ and 9 a possible ground state must be a $Spin(d)$ singlet. We also discuss the case $d=2$, where we give an upper bound on the total angular momentum and show that for odd dimensional gauge group no $Spin(d)$ invariant state exists in the Hilbert space.

研究の動機と目的

• d+1 = 4, 6, 10次元に compactified された低次元化されたスーパ Yang-Mills 理論におけるゼロエネルギー状態の存在を特定すること。
• そのようなゼロエネルギー状態が Spin(d) 群の下でどのように変換するかを調査すること。
• ヒルベルト空間の構造と角運動量の制約が異なる d=2 の場合を別個に分析すること。
• d=3,5,9 に対して、超電荷の反交換関係と自己随伴性の議論を用いて、任意のゼロエネルギー状態が Spin(d) スリグレットでなければならないことを示すこと。
• d=2 および奇数次元の SU(N) に対して、物理的ヒルベルト空間内に Spin(2)-不変状態が存在しないことを証明すること。

提案手法

• 超電荷 Qβ 及びその共役 Q̃β の反交換関係を用いて、ゼロエネルギー状態にかかる制約を導出する。
• 物理的ヒルベルト空間 Hphys において、恒等式 {Qα, Qβ} = δαβH + 2γsαβqsAJA を適用する。ここで H はハミルトニアンで、JA は SU(N) 生成子である。
• SU(N)-不変なゼロエネルギー状態に対して、部分積分と正則化関数 χ(|q|/n) を用いて、Spin(d) 生成子 Jst が状態を消滅させることを導出する。
• d=2 の場合、γ行列の特定の表現（σ¹, -σ³）を用いて、J12 をボソン的およびフェルミオン的成分で表す。これには演算子 λA∂/∂λA も含まれる。
• 生成・消滅演算子 λA および ∂/∂λA を導入して、J12 のスペクトルを分析し、dim SU(N) が奇数のときにはその値がゼロに成り得ないことを示す。
• 楕円的正則性を用いてゼロエネルギー状態が滑らかであることを保証し、証明における部分積分を厳密に行えるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次元化されたスーパ Yang-Mills 理論において、d+1 = 4, 6, 10 次元に compactified された場合、ゼロエネルギー状態は必然的に Spin(d) 群の下で不変であるか？
• RQ2 超電荷の反交換関係がゼロエネルギー状態の構造に課す制約は何か？
• RQ3 d=2 の場合とそれ以上の d との間で、Spin(d)-不変なゼロエネルギー状態の存在にどのような差があるか？
• RQ4 ゲージ群 SU(N) のどのような条件下で、Spin(2)-不変状態がヒルベルト空間内に存在しないか？
• RQ5 dim SU(N) が奇数のとき、ゼロエネルギー状態に対して角運動量演算子 J12 がゼロに成り得るか？

主な発見

• d=3,5,9 の場合、物理的ヒルベルト空間内の任意のゼロエネルギー状態は、部分積分と超電荷の交換関係の正則化を用いた証明により、Spin(d) スリグレットでなければならない。
• 証明は、ゼロエネルギー状態 ψ における Jst の作用が、すべての φ ∈ Ker H に対して (φ, Jstψ) = 0 を満たす必要があること、したがって ||Jstψ||² = 0 となることに依存している。
• d=2 の場合、上界が得られる：||J12ψ|| ≤ 6||M12ψ|| ここで M12 は角運動量生成子のフェルミオン的成分である。
• d=2 の場合、演算子 L12 - (1/2)λA∂/∂λA のスペクトルは半整数に制限されるが、必要な固有値 -dim SU(N)/4 は dim SU(N) が奇数のとき半整数でない。
• したがって、SU(N) が奇数次元（つまり N が偶数）であるとき、物理的ヒルベルト空間内に Spin(2)-不変なゼロエネルギー状態は存在しない。
• 結果は一般のゲージ群に対して成り立ち、d=2 の場合が特異的である。これはフェルミオン統計と角運動量の量子化の非自明な相互作用に起因する。